Indukcyjnie wykazać, że dla każdej liczby naturalnej Roberto: Indukcyjnie wykazać, że dla każdej liczby naturalnej n >= 18 istnieją liczby naturalne x i y takie, że n=4x+7y . Nie wiem czy dobrze robie : 1. n=18−>18=4*1+7*2 19=4*3+7*1 20=4*5+7*0 21=4*0+7*3 2. n=>18 I n=4x+7y x=1 y=2 dla pewnych x,y e N Udowonie ze n+1=4x+7y i dalej nie wiem prosze o pomoc

PW: To co robiłeś to były sprawdzenia dla 4 kolejnych liczb naturalnych. Daje wątłe podstawy do podejrzeń, że może rzeczywiście twierdzenie jest prawdziwe, ale to nie dowód indukcyjny. Dowód indukcyjny może przebiegać tak: n+1 = 4p + 7q +1 (korzystamy z założenia indukcyjnego, że n jest takiej postaci o jakiej mówi teza, p,q∊N) n+1 = 4p +7(q−1) + 7 +1 = 4p +7(q−1) + 8 − już widać? To jest takie oczywiste dla q>1, a dla q=1 trzeba jeszcze pomyśleć

PW: Dodatkowa uwaga: trzeba pomyśleć osobno nie tylko dla q = 1, ale i dla q = 0.

Roberto: tylko że podobne zadanie będę miał na egzaminie i musze jakoś rozpisać ten mój dowód. 1. n=18−>18=4*1+7*2 19=4*3+7*1 20=4*5+7*0 21=4*0+7*3 2. n=>18 I n=4x+7y x=1 y=2 dla pewnych x,y e N Udowodnie ze n+1=4x+7y dla q>1 n+1=4p+7p +1 n+1=4p+7(q−1)+7+1=4p+(q−1)+8 dla q=0 n=4p+7*0>=18 4p=18 p=18/4 Coś takiego?

Roberto: n+1 = 4p +7(q−1) + 7 +1 = 4p +7(q−1) + 8 i jeszcze chciałem zapytać skąd te q−1 się wzięło

PW: A stąd, że 7q = 7(q−1) + 7 (chciałem mieć tę siódemkę, bo po dodaniu jedynki dostaję 8, czyli wielokrotność 4). Dokończenie dowodu z 15:00 wygląda tak: (1) ... = 4p+8 + 7(q−1) = 4(p+2) + 7(q−1) − liczba n+1 dała się przedstawić w postaci żądanej w tezie twierdzenia. Dalsza uwaga bierze się stąd, że nie zawsze można tak postąpić. Jeżeli q=0, to (q−1) nie jest liczbą naturalną, a więc ten przypadek należy rozpatrzeć osobno. Uwaga o q=1 nieaktualna, widzę że dla Was 0∊N, więc dla q=1 przekształcenie (1) daje pożądaną postać.

Roberto: Czyli tylko to mam zapisać jako dowód n+1=4p+7(q−1)+7+1=4p+(q−1)+8=4p+8 + 7(q−1) = 4(p+2) + 7(q−1) nie zapisywać dodatkowego dowodu dla n= 0? a potem coś mam jeszcze dodać czy to wszystko wtedy?

PW: Toż już trzeci raz mówię: jeżeli q = 0, to znaczy liczba n ma postać 4p (tylko), to n+1 = 4p +1 − o tym przypadku trzeba opowiedzieć osobno − pokazać że da się przedstawić jako 4r+7s.