g.: 1. twierdzenie o dwóch ciągach. mogę wykorzystać w tym przykładzie? 3n² +5n +1 ---------------- n + √n 3n² 3n² +5n +1 -------- mniejsze lub równe ---------------- n + √n n + √n a lim n + √n dąży do plus nieskończoności czyli zgodnie z tw. cały przyklad dązy do plus niesk. 2. jakim sposobem obliczyć przykład (mam wyliczyc granicę): 3n² + 3 wszystko do potęgi n² + 3n - 1 ----------- 2n - 1 chciałam obliczyć że potęga to bn = plus nieskonczonosc i an, ale w an wychodzi mi tez plus nieskonczonosc.... a powinna byc chyba granica skończona... ?

Marcin: pierwsze masz źle a drugie liczy sie z wzoru lim n→∞ (1+1/n)ⁿ = e

g: to jak mam je obliczyć

Marcin: n(3n +5 +1/n) (3n +5 +1/n) ----------------- = ---------------- n(1 + √1/n} (1 + √1/n} licznik → ∞ mianownik →1 stąd całość →∞

g.: dzieki, tak myslalam a jak wyprowadzić ten drugi? mogę cos zrobic z ta potega

Marcin: rozumowanie podobne ułamek wychodzi ∞ potęga ∞ czyli ∞^∞ więc wychodzi ∞

g.: czyli obliczam sobie an osobno i bn osobno tak? an = 3n/2 = plus niesk. bn = n²(1+3/n + 1/n) = plus niesk. to po co napisałeś mi ten wzór na e ?

Marcin: bo trochę popłynąłem

g.: a ja już się wystraszyłam, że tego nie potrafię ... uff czyli z przykładem ( 2n+3 / 3n-1)ⁿ²+3 (te 3 też w potędze)będzie podobnie, nie? i jeszcze mógłbyś spojrzeć na to... 5* pierw. n-tego stopnia z 4n² + 2 * (-1) ln n ----------- n = 5 * (pierwiastek dzielę przez n², wychodzi 1) 5*1=5 + (-1)ⁿ/n = 0 ln /n = 1 czyli granica tego ciągu będzie wynosiła 5

Marcin: tylko że w tym pierwszym przykładzie w ułamku wyjdzie 2/3 a w potędze ∞ czyli całość do 0

g.: tak tak wiem. a wiesz co z tym drugim przykładem?

Marcin: musisz go trochę lepiej napisać bo nie wiem co jest co

g.: 5 ⁿ√4n² * 2 * (-1)ⁿ ln n ---------------- n

Marcin: pierwsza część ⁿ√4n² = 4^2/n 2/n → 0 czyli ⁿ√4n² →1

g.: a co z drugą częścią? najbardziej mi chodzi o to (-1)ⁿ /n ....

Marcin: znasz regułę de'Hospitala

g.: niestety jeszcze nie...

Marcin: ln n /n wychodzi 0 ale nie wiem jak to pokazać

g.: aha, ok. no ale jeżeli tego jeszcze nie miałam to może wykładowca nam odpuści. mam jeszcze przykład gdzie mam obliczyć granicę ⁿ√1 + 4ⁿ + 7ⁿ = 7, tak? a ta ⁿ√2ⁿ + 5ⁿ = 5?

Marcin: no chyba że gdzieś mieliście tw. ze ln n / n =0

Marcin: a to nowe robi się z tw o 3 ciągach

Marcin: i wyniki są właśnie takie

g.: tak z tw. o 3 ciągach. ale dobrze jest wynik, nie? bo to będzie ( dla 1. przykładu) 7ⁿ < przykład 1. < 2 * 7ⁿ on nam podawal, ze ln n / n = 1 ale cos mi to nie pasowalo... i to bylo takie ala przypomnienie o logarytmach. to wtedy... ale o tej regule nic nie wiem jeszcze.

g.: a jeżeli mam sprawdzić czy szeregi są zbieżne, wykorzystując warunek konieczny to po prostu liczę granicę i jeżeli lim nie jest równy 0 to szeregi są rozbieżne?

Marcin: dałbym 3* 7ⁿ bo tam są trzy składniki a jak nie mieliście pochodnych to reguły de'Hospitala napewno nie było

g.: no faktycznie, miałybyć 3.

g.: a co z tą rozbieżnością? dobrze rozumuję?

Marcin: tak

g.: ogromne dzięki, więcej takich osób, które chcą i potrafią pomóc. gratuluję i zazdroszczę wiedzy

g.: a jeszcze mam takie pytanie... moze tutaj zajrzysz. co do tej zbieznosci szeregów: (n+3 / n -2 )²n. wyjdzie 1 do plus nieskończoności.... ? czyli + niesk.

b.: nie, 1^∞ to kłopot Tutaj właśnie trzeba z e kombinować, tak jak Marcin na początku napisał. Wynik: e¹⁰ jeśli się nie pomyliłem (i jeśli jest 2n w wykładniku).

g.: kurcze! czylli jak to rozpisać?... pomożesz?

b.: (n+3/ (n-2) )²ⁿ=(1+5/(n-2) ) ²ⁿ = 1 =[ (1 + ------------ ) ^(n-2)/5) ]^2n*5/(n-2) (n-2)/5 Tu teraz jest lekkie oszustwo: ciąg w nawiasach [ ] dąży do e (*), a wykładnik (2n*5/(n-2)) dąży do 10. A może wiesz, że (1+a/n)ⁿ → e^a? Wtedy nie trzeba tej 5 przenosić do mianownika, można ją zostawić w liczniku. (*) To jest prawda, ale nie wynika to bezpośrednio z tego, że (1+1/n)ⁿ→e, potrzebny jest pewien argument. Np. wystarczy wiedzieć, że (e) jeśli a_n→∞, to wówczas (1+1/a_n)^a_n → e. (Korzystamy z tego dla ciągu a_n=(n-2)/5). Granicę (e) można pokazać korzystając z (1+1/n)ⁿ→e, tw. o 3 ciągach i oszacowań typu a_n-1 < [a_n] ≤ a_n, gdzie [y] oznacza część całkowitą y.

g.: wiem, że (1 + a/n)ⁿ = e^a. tak więc mogę rozpisać, że 5 =[ (1 + ------------ )^(n-2) ]^2n/(n-2) (n-2) tylko co dalej?

g.: aaa chyba wiem... liczę sobię 2n / n-2 i lim wychodzi mi 2. z tego pierwszego wyrażenia mam (e⁵)² = e¹0 tak?

g.: e¹⁰ tam ma być

b.: No i teraz to w [...] dąży do e⁵, prawda? No bo to jest ciąg (1+5/n)ⁿ, tylko przenumerowany (w miejscu n mamy n-2). A wykładnik 2n/(n-2)→2 (łatwe, widać np. po podzieleniu licznika i mianownika przez n). Czyli [...]^2n/(n-2) → [e⁵] ² = e¹⁰.

b.: o właśnie

g.: super, dzięki wielkie!

g.: jeszcze mam pytanie.... skąd ta 5 tam w tym liczniku?

g.: czyżby n/n -2 + 3 / n-2 i ta -2 z mianownika wskakuje do tego licznika koło 3

b.: mamy ułamek (n+3)/(n-2) i chcemy wyciągnąć jedynkę (bo jest (1+1/k)^k→e), więc piszemy n+3 = (n-2) + 5 i stąd ta piątka dalej (n+3)/(n-2) = (n-2)/(n-2) + 5/(n-2) = 1+5/(n-2)

g.: aaaaaa dzięki!