Indukcja matematyczna Dejna: Indukcja matematyczna 5*7^2(k+1) + 2^3k | 41

Godzio: Dla k = 1 − jasne. Załóżmy, że dla pewnego k zachodzi 6 * 7^{2(k + 1)} + 2^3k = 41p dla p całkowitego wówczas 6 * 7^{2(k + 2)} + 2^{3k + 3} = = 7² * (6 * 7^{2(k + 1)} + 2^3k) + (8 − 7²) * 2^3k = [ korzystamy z założenia ] = 49 * 41p − 41 * 2^3k = 41(49p − 2^3k) = 41m dla m całkowitego stąd na mocy zasady indukcji matematycznej teza zachodzi.

PW: 1° Dla k=1 twierdzenie jest prawdziwe, bowiem 5•7²⁽¹⁺¹⁾ + 2^3•1= 5•7⁴+2³ = 5•49²+8 = 12013 = 293•41. Najgorsze za nami, teraz tylko trzeba założyć prawdziwość twierdzenia dla dowolnej, na czas dowodu ustalonej liczby n∊N 2° 5•7²⁽ⁿ⁺¹⁾ + 2³ⁿ | 41 i na podstawie założenia 2° udowodnić, że twierdzenie jest prawdziwe dla następnej po n liczby naturalnej, to znaczy 3° 5•7²⁽ⁿ⁺²⁾ + 2³⁽ⁿ⁺¹⁾ | 41. Dowód: ... może pytający jednak spróbuje przekształcając liczbę 5•7²⁽ⁿ⁺²⁾ + 2³⁽ⁿ⁺¹⁾ tak, by na podstawie założenia 2° pokazać jej podzielność przez 41.

PW: Godzio, no to teraz tylko Dejnie pozostało sklecić to do kupy.

Godzio: Ano Mnie na początku przerażały zadania z dowodzeniem podzielności, ale jak się raz to zobaczy to już wiadomo jak − na siłę