Stosunek długości w trójkącie. humbak: W trójkącie ABC punkty D, E leżą odpowiednio na bokach AB i AC tak, że |AD| : |DB| = 1:2 oraz |AE| : |EC| = 2:1. Udowodnij, że |EF| : |FB| = 1:6. Będę bardzo wdzięczny za wszelkie wskazówki!

humbak: Dzięki dorysowaniu tych dwóch czerwonych linii, udało mi się znaleźć kilka trójkątów podobnych po lewej stronie oraz, przede wszystkim, sprawdzić, iż trójkąt oznaczony przeze mnie EFG jest podobny do trójkąta BDF. Wg treści zadania skala podobieństwa powinna wynieść 1:6. Ktoś ma jakiś pomysł jak to udowodnić?

asiunia:

	1
Więc, skoro wiemy, że ΔEFG~ΔBDF, a skala podobieństwa k ma być równa		, to napiszmy
	6

sobie, skąd tę skalę możemy wziąć:

	|EF|		|EG|		|GF|		1
k=		=		=		=
	|FB|		|DB|		|FD|		6

By to udowodnić, potrzebujemy któreś z tych boków. Oznaczamy sobie z treści zadania: |EC|=y |EA|=2y |AD|=x |DB|=2x oraz |EG|=z Z twierdenia Talesa piszemy zależność

y		3x		xy		x
	=		⇒ z =		=		= |EG|
z		x		3y		3

	1
podstawiamy do k, by wykazać, że sala podobieństwa wynosi
	6

	|EG|		z		x   3		1
k=		=		=		=		⇒ |EF| : |FB| = 1 : 6
	|DB|		2x		2x		6

asiunia: mała literówka w zależności Talesa → ma być:

y		3y
	=
z		x