Ekstrema lokalne Cinek: Zbadać ekstrema lokalne funkcji: f(x,y)=sinx*siny*sin(x+y) w zbiorze D = (0,π)x(0,π) Bardzo proszę o pomoc

Cinek: Zadanie z egzaminu.

Basia: umiesz policzyć pochodne cząstkowe tej funkcji ?

Cinek: Po x wychodzi sin(y) * sin(2x+y) Po y wychodzi sin(x) * sin(2y+x) Gdy próbuję to wyliczyć to wychodzi mi y=x i dalej jest problem.

Basia: dobrze, ale skąd x=y ? siny*sin(2x+y) = 0 siny = 0 lub sin(2x+y) = 0 siny = 0 ⇔ y=kπ a to dla żadnego k nie należy do (0;π) czyli odpada sin(2x+y) = 0 ⇔ 2x+y = kπ ⇔ y = kπ−2x 0 < x < π /*(−2) 0 > −2x > −2π /+kπ kπ > kπ−2x > kπ−2π y = kπ−2x ∊(kπ−2π; kπ) ⊂ (0;π) kπ−2π≥0 i kπ≤π (k−2)π≥0 i k≤1 k≥2 i k≤1 sprzeczność wg mnie w podanym D w ogóle nie ma rozwiązania może któryś przedział miał być inny ?

Basia: a nie; sknociłam owszem y = kπ−2x ∊ ((k−2)π; kπ) ale nie musi być ((k−2)π; kπ)⊂(0;π) wystarczy, żeby ((k−2)π; kπ)∩(0;π)≠∅ ⇔ ~ [ kπ≤0 ∨ (k−2)π≥π ] ⇔ ~ [ k≤0 ∨ k≥2 ] ⇔ k>0 ∧ k<2 ⇔ k=1 stąd mamy y = π−2x 0 < π−2x < π −π < −2x < 0 ^π₂ > x > 0 mamy nieskończenie wiele rozwiązań są to pary (x, π−2x) gdzie x∊(0;^π₂) teraz trzeba tak samo rozwiązać drugie równanie