przestrzeń unitarna i euklidesowa klempka: Witam Mam pewien problem. Uczę się wektorów i teraz ciągle mam w książce że raz jest przestrzeń unitarna a raz euklidesowa. I nie moge nigdzie znaleźć jakiego wyjaśnienia, w prostych słowach co to jest . Ciągle tylko oficjalne regułki przez które nie moge przebrnąć. Bardzo proszę o jakieś krótkie wyjaśnienie.

Ada: Iloczynem skalarnym, metryką.

czacza: a tak trochę szerzej, iloczyn skalarny dwuch wektorów to jakas liczba i co dalej

Ada: No nie zawsze. W przestrzeni euklidesowej to suma odpowiednich składowych. Są przestrzenie, gdzie iloczyn skalarny jest definiowany jako całka.

czacza: czyli chodzi o to że w każdej przestrzeni inaczej sie liczy iloczyn skalarny?

Ada: No na upartego można tak powiedzieć, ale to nie do końca prawda.

czacza: no to jak mam dwa wektory w przestrzeni trzy wymiarowej u oraz v oraz iloczy skalarny licze tak u*v = u_xv_x * u_yv_y * u_zv_z to mowa o jakiej przestrzeni Oraz możesz polecić mi jakaś książkę na ten temat bo nawet nie wiem po co to jest

czacza: aaaaa żle napisłem, te składowe się sumuje nie mnoży

Nieznajomy: to klasyczny euklidesowy iloczyn skalarny w przestrzeni R³ a ponieważ R³ jest z działaniami (+ ; *) przestrzenią liniową nad ciałem C więc masz liniową przestrzeń euklidesową czyli unitarną (o ile dobrze pamiętam)

Ada: Dobrze pamiętasz Nieznajomy Hmm... książka, nie mam pojęcia. Ja to miałam na wykładzie z obrotów.

czacza: o matko boska. Więc w końcu euklidesowa czy unitarna i jakie znowu ciało C

Nieznajomy: przestrzeń unitarna to liniowa przestrzeń euklidesowa a liniowa musi być nad jakimś ciałem (może być R, może być ℂ czyli zespolone) do którego należy to przez co mnożymy wektory jakie warunki musi spełniać przestrzeń liniowa wiesz ?

Ada: Każda przestrzeń Euklidesowa jest przestrzenią Unitarną. (Sprzężenie liczby rzeczywistej to ona sama). Chodzi o to, że jak sobie zdefiniujesz na płaszczyźnie zespolonej iloczyn skalarny tak jak na rzeczywistej to ci może wyskoczyć ujemna niespodziajka. A że iloczyn skalarny określa metrykę, czyli długość wektorów (elementów) przestrzeni, więc nam się ujemna długość nie podoba. Więc wprowadzamy dziwne rzeczy, żeby tak nie było, czyli mamy trochę inaczej zdefiniowany iloczyn skalarny.

czacza: niestety nie wiem, i dalej nie rozumiem czym jest to ciało. Operacje na wektorach jakoś tam zrozumiałem ale te przestrzenie to totalna klapa. a jeśli chodzi o ciało: jak mam dwa wektory u i v i jakiś skalar k i zrobie tak to k*u i k*v to wtedy te wektory są w przestrzeni nad ciałem k a jesli ich nie przemnoże to nad jakim sa ciałem?

Ada: Ciało to zbiór z określonymi dwoma działaniami, zwykle nazywanymi dodawaniem i mnożeniem. I te działania muszą spełniać specjalne warunki.

czacza: a dlaczego ujemny iloczyn skalarny jest zły

Ada: Bo czasami nie chcemy, żeby odległość była ujemna.

PW: Bo wolałby mieć więcej. czacza, rozważania kolegów są dla Ciebie za trudne (nie znasz ogólnej definicji przestrzeni liniowej, która wymaga znajomości pojęcia ciała). Poprzestań na przestrzeni R³ czy Rⁿ zdefiniowanej tradycyjnie.

czacza: czyli iloczyn skalarny jes to odległość między wektorami

PW: Baju, baju.

czacza: I tak nie znam, do tej pory uczyłem się matematyki z etrapeza, tam są tylko puste przykłady bez tych przestrzeni i niewiem po co one sa, jak pisałem wcześniej, nie potrafie przebrnąć przez te oficjalne regułki i szukam pomocy wszędzie

czacza: matematyka chyba jednak nie jest dla wszystkich. choćby nie weim jak bardzo człowiek chiałby sie nauczyć to cię wszyscy zbywają

Ada: czacza] masz 21 postów w tej rozmowie nikt cię nie zbywa. [N[PW po prostu pisze, że nie masz podstaw. Zacznij z pierwszą lepszą książką z algebry liniowej.

PW: Nie zbywają. Za wcześnie, nie połkniesz wszystkiego od razu. Jeżeli jesteś zainteresowany − weź jakąś książkę do algebry wyższej, tam są wszystkie te pojęcia. Trzeba dużo czasu i samozaparcia, żeby je opanować. Zanim zaczniesz rozumieć porządek jaki wprowadzają i jak pięknie łączą różne dziedziny, trzeba wykonać dużą pracę, z początku wydawałoby się nudną i mozolną.

czacza: to polec jakas, ale taką gdzie tłumaczą, a nie taką gdzie zasypują tona wzorów, z których i tak nic nie zrozumie,