Znajdź granicę funkcji. Ania:

	ex2−1
Niech f(x)=		dla x różnych od 0
	cosx−1

A dla x=0 Dla którego A istnieje f'(0) i ile jest równa? Wyszło mi, że A=−2 natomiast nie umiem obliczyć f'(0). Proszę o pomoc.

MQ: Oblicz f'(x) i podstaw 0.

Ania:

	0
Problem w tym, że wychodzi		i trzeba obliczyć granicę gdy x−>0 i coś mi nie wychodzi.
	0

MQ: A jaki ci wyszedł wzór na pochodną?

Ania:

2xex2*(cosx−1)+(ex2−1)*sinx
{cosx−1}2

Próbowałam 3 razy z de l' Hospitala ale nie wychodzi

MQ: Wzór dobry, ale faktycznie można się potem pogubić. W zasadzie, jeśli założymy, że pochodna w 0 istnieje (a tak nie musi być oczywiście), to jej wartość łatwo przewidzieć. Nasza f(x) jest parzysta, więc jeśli pochodna w 0 istnieje, to jest równa 0.

Ania: Na pewno parzysta? Bo się wydaje, że jest nieparzysta. Ale nadal nie widzę, że ma wyjść zero:(

MQ: Na pwno parzysta, bo cos(x) parzyste i e^x2 też parzyste.

Ania: Masz rację

Kuba: Ej, ale ja tego nie kumam. Skąd wiecie, że to jest 0 ? ? ?

Maslanek: Ale f' nie jest parzysta. Z tego, że f jest parzysta mamy tyle, że w otoczeniu zera pochodna zmienia znak albo jest równa zero (wtedy tylko, jeśli f' też jest parzysta) Jednak wiemy, że f' parzysta nie jest.

Maslanek: I rzeczywiście po wykresie funkcji widać, że ciągłość może być zachowana

Maslanek: Najpierw postaraj się, żeby funkcja f była w pierwszej kolejności ciągła.

Maslanek: Spróbujmy policzyć

	ex2*2x		x
lim (x→0) f(x) = |H| = lim (x→0)		= lim (x→0) −2*ex2*		= −2
	−sinx		sinx

Także, jeżeli w ogóle pochodna w 0 ma istnieć, to A=−2. Teraz trzeba by jeszcze sprawdzić, czy istnieje. MQ, co to za twierdzenie, że pochodna funkcji parzystej w 0 jest równa 0?

MQ: Prosty wniosek z warunku wystarczającego na minimum lub maksimum lokalnego. Jeżeli f. jest parzysta, to w otoczeniu 0 musi posiadać minimum lub maksimum lokalne −− pomijam trywialny przypadek, gdy f(x)=const. Jeżeli f. jest różniczkowalna w pewnym punkcie i ma w nim ekstremum lokalne, to w tym punkcie jej pochodna wynosi 0.

Maslanek: Tak jasne Uogólniając można powołać się na twierdzenie Rolle'a, tak?

Metis: MQ zajrzyj na fizyke.pisz.pl

MQ: Nie bardzo, bo tu trzeba precyzyjnie określić ten punkt (x=0), a tw. Rolle'a mówi tylko tyle, że taki punkt istnieje. Chyba żeby coś kombinować z granicami przedziałów −− tzn zbliżać się do 0 po obu stronach i przejść z −h i h w granicy do 0.

Maslanek: To właśnie miałem na myśli