Wzajemne położenie prostej i okręgu. Styczna do okręgu. - Geometria analityczna Leszek: Witam, Okrąg przechodzi przez punkt A(4,1), zaś jego środek należy do prostej k: x−y=0. Wiedząć, że okrąg ten jest styczny do prostej l: y−5=0, wyznacz jego równanie. Nie mam kompletnie pojęcia jak się zabrać za to zadanie. Jakaś pomoc? Dziękuję z góry.

Janek191:

Janek191:

Janek191: A = ( 4; 1) S = ( a ; a ) − bo S leży na prostej o równaniu y = x ( x − a)² + ( y − a)² = r² y = 5 − równanie prostej stycznej zatem ( x − a)² + ( 5 − a)² = r² ( 4 − a)² + ( 1 − a)² = r² − przechodzi przez A = ( 4; 1) x² − 2a x + a² + 25 − 10 a + a² = r² 16 − 8 a + a² + 1 − 2a + a² = r² x² − 2a x − 10 a + 2a² + 25 = r² − 10 a + 2 a² + 17 = r² x² −2a x + 8 = 0 Δ = 4a² − 4*1*8 = 4 a² − 32 = 0 ⇒ a² = 8 ⇒ a = 2√2 czyli S = ( 2√2 ; 2√2) r = 5 − 2√2 ⇒ r² = 25 − 20√2 + 8 = 33 − 20√2 ≈ 4,7 dlatego równanie okręgu ma postać ( x − 2√2)² + ( y − 2√2)² = 33 − 20√2 ==================================