Równania i nierówność, p. rozszerzony Marek216: Czy prawdą jest, że nierówność: x²⁰¹⁴ − x²⁰¹³ + x²⁰¹² > (x−1) , jest prawdziwa dla każdej liczby rzeczywistej x ? W odpowiedziach mam tylko, że trzeba rozpatrzeć 3 przedziały, proszę o odpowiedz.

Marek216: ?

pigor: ..., zacząłbym np. tak x²⁰¹⁴−x²⁰¹³+x²⁰¹² >x−1 ⇔ x²⁰¹³(x−1)−(x−1)+ x²⁰¹² >0 ⇔ ⇔ (x−1)(x²⁰¹³−1)+ x²⁰¹²>0 ⇔ (x−1)(x−1)(x²⁰¹²+x²⁰¹¹+...+x²+x+1)+ x²⁰¹²>0 ⇔ ⇔ (x−1)²(x²⁰¹²+x²⁰¹¹+...+x²+x+1)+ x²⁰¹² > 0 i tu dałbym odpowiedź NIE jest prawdą, a byłoby gdyby x∊R₊, ale tu nie widzę co można zrobić pożytecznego dalej i jakieś uzasadnienie zostawię zainteresowanemu. ...

Marek216: ?

Marek216: O to chodzi pigor że jest prawdą . Odpowiedz : nierówność prawdziwa. Wskazówka: rozważ 3 przypadki x < 0 , 0≤x<1 i x>1

WueR: Rownowaznie: x²⁰¹²*(x² − x + 1) > x − 1 Jesli x − 1 < 0, tzn x∊(−∞,1), to nierownosc jest oczywiscie prawdziwa, bowiem lewa strona jest wtedy zawsze dodatnia.

WueR: Lub precyzyjniej − lewa strona jest zawsze nieujemna.

pigor: ,,...., kurde faktycznie, no to sprawdź moje rozwinięcie w tych przedziałach i odpowiednio uzasadnij zwłaszcza ten długi nawias i wszystko gra .

pigor: ..., no WueR zrobił to lepiej i w tych przedziałach wszystko ...

PW: Dls x > 1 dzielimy stronami przez x−1 otrzymując równoważną nierówność

	x2−x+1
x2012		> 1,
	x−1

która jest oczywiście prawdziwa, gdyż x²⁰¹² > 1, a

	x2−x+1		1
		= x +		> x > 1
	x−1		x−1

WueR: No i dla autora tematu zostaje przypadek, gdy x = 1.

PW: Właściwie już to zrobiłeś, wystarczy ...