równanie różniczkowe Kasia: Rozwiąż równanie różniczkowe (x+lny)dx+(1+(x/y)+siny)dy=0

Kasia: od czego zacząć jak rozdzielić te zmienne?

Trivial: A skąd pewność, że to równanie o zmiennych rozdzielonych? Forma równania sugeruje równanie różniczkowe zupełne.

	∂P		1		∂Q		1
Pdx + Qdy = 0		=				=
	∂y		y		∂x		y

I tak też jest.

Kasia: wyszło F(x,y)=x+siny sprawdzi ktoś? mi wyszło ^∂P_∂x=1 ^∂P_∂y=⁻¹_y²+cosy F(x,y)=^−x_y+siny+Φ(x) ^∂F_∂x=⁻¹_y+Φ'(x) Φ'(x)=1+¹_y Φ(x)=x+^x_y

Trivial: Szukasz potencjału:

	∂u		∂u		1
		= P		= x + lny u =		x2 + xlny + φ(y)
	∂x		∂x		2

	∂u		x		x
		= Q		+ φ'(y) = 1 +		+ siny
	∂y		y		y

φ'(y) = 1 + siny φ(y) = y − cosy + c Zatem rozwiązanie opisane jest równaniem

	1
		x2 + xlny + y − cosy + c = 0
	2

Trivial: I przykładowy wykres dla c = −7 http://www.wolframalpha.com/input/?i=plot+%281%2F2%29x^2+%2B+x*lny+%2B+y+-+cos%28y%29+%3D+7

Kasia: ale skąd sie wzięło ^x_y+Φ'(x)

Kasia: a dlaczego przy u nie ma u=0,5x²+xlny+cosy+φ(y),ale jakby to miała być pochodna po y to wogóle coś....

Krzysiek: szukasz takiej funkcji u, że: du/dx=x+lny dudy=1+x/y+siny z pierwszego równania całkując po 'x' otrzymujesz: u=x²/2+xlny+φ(y) liczysz pochodną tego po 'y' i wstawiasz to do drugiego równania: x+x/y+φ'(y)=1+x/y+siny

Kasia: ok już zrozumiałam, serdeczne dzięki