Rozwiąż równanie trygonometryczne lolo: sin²x − cos2x − 2 = 0

J: Wskazówka: cos2x = cos²x − sin²x oraz cos²x = 1 − sin²x

bezendu: sin²x−cos2x−2=0 sin²x−(1−2sin²x)−2=0 sin²x−1+2sin²x−2=0 3sin²x=3 sin²x=1 sinx=1 lub sinx=−1

	π		π
x=		+2kπ lub x=−		+2kπ
	2		2

k∊C

lolo: Wskazówka od J: wystarczyła, dziękuję @bezendu Czy w seriach nie powinna być trzecia możliwość: x=³₂π + 2kπ?

bezendu: Jaka trzecia możliwość ? Popatrz na wykres sinusa. Zacząłem wcześniej pisać i nie było jeszcze wpisu J. Ale nie musisz z tego korzystać.

lolo: Prawda, mój błąd, w końcu zakres sinusa to <−1,1>. Dziękuję jeszcze raz za szybką odpowiedź

Godzio: Pokażę nieco inaczej sin²x − 2 − cos2x = 0

	1		3
−		(1 − 2sin2x) −		− cos2x = 0
	2		2

	1		3
−		cos2x −		− cos2x = 0
	2		2

	3		3
−		cos2x =
	2		2

cos2x = − 1 2x = 2kπ x = kπ, k ∊ C (otrzymujemy optymalne rozwiązanie)

PW: Jak się bawić to si ę bawić. sin²x − cos2x − 2 = 0 (1) sin²x − cos2x = 2. Zapala się lampka pt. "zbiór wartości funkcji trygonometrycznych". sin²x jest co najwyżej równe 1, |cos2x| też, a więc żeby równanie (1) było spełnione, oba składniki muszą być równe 1, to znaczy sin²x = 1 ∧ − cos2x = 1 (sinx = 1 ⋁ sinx = −1) ∧ cos2x = −1

	π		π		π
(x =		+2kπ ⋁ x = −		+2nπ) ∧ x =		+mπ, k, n, m ∊Z
	2		2		2

	π		π		π		π
(x =		+2kπ ∧ x =		+mπ) ⋁ (x = −		+2nπ ∧ x =		+mπ)
	2		2		2		2

Pierwszy układ jest spełniony dla m=2k, czyli rozwiązaniami są

	π
(2) xk =		+2kπ, k∊Z
	2

Drugi układ jest spełniony dla takich m i n, dla których 2n−1 = m, czyli rozwiązaniami są

	π
(3) xm =		+mπ, m∊Z
	2

Seria (2) zawiera się w serii (3), zatem rozwiązaniami są (3). Jest to ten sam wynik co uzyskany przez Godzia, gdyby nie pomylił się w przedostatniej linijce.