Różniczkowalność funkcji Patrycja: Witam, czy można pokazać mając dwie funkcje, że są różniczkowalne w pewnym punkcie, za pomocą rysunku Jeśli tak to w jaki sposób ?

PW: A dlaczego tak "stereo", nie możemy mówić o jednej funkcji? Pochodna w punkcie ma swoją definicję, taką bez rysunku, opartą na pojęciu granicy ilorazu różnicowego. Jeżeli zaczniemy ilustrować te ilorazy różnicowe

	f(x0+h) − f(x0)
		,
	h

dla różnych h, to zobaczymy że stosunek taki to nic innego jak tangens kąta nachylenia siecznej wykresu przechodzącej przez punkty (x₀, f(x₀)) i (x₀+h,f(x₀+h)). Kiedy h "robi się malutke", to sieczna przyjmuje pozycję, którą chciałoby się nazwać "styczną do wykresu w punkcie (x₀, f(x₀))". Na rysunku rozpoznajemy punkt x₀, w którym istnieje pochodna funkcji po tym, że można w punkcie(x₀, f(x₀)) narysować styczną do wykresu. Wykres w tym miejscu musi być "gładki" − nie może być przerwy w wykresie ani "ostrza". Ale doświadczenie z tą ilustracją ilorazu różnicowego powinnaś przeżyć sama choć raz w życiu.

Patrycja: No mam dwie funkcje: W zadaniu miałam zbadać ciągłość i czy funkcja jest różniczkowalna w x0=0

	1
f(x):		dla x∊(0;2]
	x

−x dla x∊[−2,0] Zbadałam ciągłość, funkcja nie jest ciągła w zerze. Teraz mam problem z różniczkowalnością, chciałam to pokazać na rysunku, ale nie wiem jak

PW: Twierdzenie: Funkcja różniczkowalna w punkcie x₀ jest w tym punkcie ciągła. i równoważne logicznie Twierdzenie przeciwstawne (kontrapozycja): Funkcja, która nie jest ciągła w x₀, nie jest w tym punkcie różniczkowalna. Jeżeli pokazałaś, że f nie jest ciągła w zerze, to tym samym nie jest różniczkowalna w tym punkcie. Teraz dopiero rozumiem, co miałaś na myśli mówiąc "mam dwie funkcje" − funkcja f jest określona dwoma wzorami na dwóch kawałkach dziedziny. Jeżeli musisz to narysować, rysuj wykres funkcji

	1
g(x) =		,
	x

ale tylko nad przedziałem (0, 2] − wiadomo, że gdy x zmierzają do 0, to wartości f(x) zmierzają do ∞. Nad przedziałem [−2, 0] rysuj wykres funkcji h(x) = −x. To wszystko, wykres funkcji f składa sie z tych dwóch kawałków, a "rozerwanie" wykresu w x₀ = 0 ilustruje brak ciągłości w zerze i tym samym brak pochodnej. Na przyszłość może od razu podaj treść zadania, bo ja tu poezje tworzę, a niepotrzebnie.

Patrycja: Przepraszam bardzo i dziękuje zarazem.