Planimetria Blue: Punkt K jest środkiem boku kwadratu (zobacz rysunek). Jaką części pola kwadratu stanowi pole trójkąta DOK Rysunek do zadania: http://i62.tinypic.com/2z7q0i9.png

pigor: ..., wlałbym dokładną treść zadania, bo rysunek sobie sam narysuję ; tak na szybko wychodzi mi 1:6 − szukany stosunek . ...

pigor: ..., robię to ... dla siebie np. tak : x : (¹₄P− x) = (¹₂P−x) : x ⇔ ... ⇔ x : P = 1 : 6 . i tyle...

Janek191: Wychodzi: P₁ : P = 1 : 12

Janek191: P₁ − pole Δ_DOK P₂ − pole Δ_AOB Mamy

	x		P1		12*12 a*x		x
(		)2 =		=		=
	a − x		P2		12 a*( a − x)		2(a −x)

x2		x
	=		/ * ( a − x)2
( a − x)2		2( a − x)

	x *( a − x)
x2 =
	2

2 x² = a x − x² 3 x² = a x ⇒ 3 x = a x = ¹₃ a więc

	1		1		1
P1 = 0,5*0,5 a* x =		a*		a =		a2
	4		3		12

P_k − pole kwadratu zatem

P1		1		1
	=		a2 : a2 =		= 1 : 12
Pk		12		12

===========================

PW: Coś mi się zdaje, że Blue "siedzi w twierdzeniu Talesa", proponuję więc rozwiązanie w tym stylu. Biorąc L w połowie odcinka AB i prowadząc LC otrzymamy trójkąt LBP (tej P nie napisałem, ale się domyślamy) przystający do trójkąta KDO (są przystające, bo skonstruowane identycznie). Wobec tego (1) |BP| = |DO|. Z twierdzenia Talesa zastosowanego do ramion kąta BDC przeciętego równoległymi AK i LC wynika

	|DO|		|KD|		a   2
		=		=		= 1,
	|OP|		|KC|		a   2

zatem (2) |DO| = |OP|. Z (1) i (2) wynika, że |OP| = |BP|, czyli trójkąt ABO ma bok BO dwukrotnie dłuższy niż bok DO trójkąta KDO. Ponieważ trójkąty te są podobne (mają odpowiednio przystające kąty), wynika stąd, że ich wysokości H i h też pozostają w stosunku 2:1.

	1		1
Wniosek: h =		(h+H) =		a.
	3		3

Pole S trójkąta KDO jest równe

	1		1		1		1		1
S =		|KD|h =		•		a•		a =		a2.
	2		2		2		3		12

Kacper: Ja lubię geometrię analityczną Przyjmijmy bez straty ogólności zadania a=2 dostajemy proste: y=2x y=−x+2 2x=−x+2

	2
x=
	3

	4
y=
	3

	2		4
Punkt O(		,		)
	3		3

Teraz liczę pole trójkąta DOK DK^→=[1,0]

	2		2
DO→=[		,−		]
	3		3

	1		1		−2		2		1
PDOK=		|det(DK→,DO→)|=		|		|=		=
	2		2		3		6		3

P_ABCD=4

PDOK		1   3		1
	=		=
PABCD		4		12

PW: No i czy matematyka nie jest piękna? Trzy rozwiązania istotnie różne, a pewnie znalazłoby się jeszcze inne. Blue, Ty to masz szczęście.

pigor: ..., przepraszam; liczyłem dla P_ΔDOA= x, zamiast P_ΔDOK=x ; a wtedy mam proporcję x : (¹₄P−x)= (¹₄P−x}) : (¹₄+x) ⇔ 4x(P+4x)= (P−4x)² ⇔ ⇔ 4Px+16x²= P²−8Px+16x² ⇔ 12Px= P² ⇔ 12x= P ⇔ x : P = 1 : 12 .

pigor: ... no właśnie jest już i 4−te z tw. które ... polubiłem.

Blue: Kacper, Twój sposób wydaje mi się najprostszy , może dlatego, że też wolę geometrię analityczną od planimetrii PW Zgadzam się, mam szczęście, że zechcieliście mi pomóc, wielkie dzięki wszystkim A i nie "siedzę " w Tw. Talesa − to są ogólne zadanka z planimetrii

Blue: Chociaż w zasadzie Janek muszę powiedzieć, że Twoje rozwiązanie też spoko bardzo, najgorsze wg mnie z Talesem, bo mam problem z takim "zauważaniem" czegoś

Mila: P□=a² ΔABO∼ΔDKO⇔

0,5a		a
	=		⇔
h		H

0,5a*H=a*h 0,5H=h H=2h h+2h=a

	1
h=		a
	3

	1		1		1
PΔDKO=		*		a*		a
	2		2		3

	1		1
PΔDKO=		a2=		P□
	12		12

============================

Blue: Twój sposób też świetny Milu, jak zawsze

Mila: To znaczy, że go rozumiesz?

Eta: No to jeszcze taki sposób

	1
P(AKD)=		a2
	4

W trapezie ABKD P₃=k*P₂ , k=2 skala podobieństwa trójkątów ABO i DKO

	1		1
P(AKD)=P3+P2= 3P2 to		a2=3P2 ⇒ P2=		a2
	4		12

	1
P(ΔDKO)=		P(kwadratu)
	12

Bogdan: Jeśli obliczamy stosunek, to można dobrać dogodne do obliczeń liczby. W tym zadaniu jako długość boku kwadratu przyjmuję wartość 2, pole kwadratu jest równe 4.

	2		2 − h		2
Z podobieństwa odpowiednich trójkątów:		=		⇒ 2h = 2 − h ⇒ h =
	1		h		3

	1   2   *1*   2   3		1
Odp.: Szukany stosunek jest równy		=		.
	4		12