Planimetria Blue: Mam problem z tymi zadankami z planimetrii: zad.1 W trójkącie ABC na boku AB wybrano punkt M taki, że |AM| : |MB|=2:3. Środkowa AK dzieli odcinek MC, licząc od M, w stosunku:

	2
A.
	3

	2
B.
	5

	4
C.
	15

	4
D.
	3

zad.2 W trapezie ABCD, w którym AB || CD, przekątne przecinają się w punkcie O oraz

	|DC|
		= p,p>0. Stosunek pola trapezu ABCD do pola trójkąta ABO równa się:
	|AB|

A. p² B. p²+1 C. (p−1)² D. (p+1)²

Mila: 1) Jak rozwiązujesz, nie zgadza się odp. czy nie wiesz jak wybrać? 2) Skorzystaj z podobieństwa ΔDOC i ΔAOB, P_ΔCOB=P_ΔDOA. W razie trudności napiszę całe rozwiązanie.

PW: 1) A może trzeba znowu metodą eliminacji? Na przykład rysować równoległą do AB przechodzącą przez K. Cały odcinek AK leży poniżej tej prostej, więc L − punkt wspólny AK i CM też leży poniżej. Wobec tego

	1		1
ML : LC <		MC :		MC = 1.
	2		2

Odpowiedź D wyeliminowana. Dalej ni mom chęci, ale może spróbujesz?

Mila: 1) Najłatwiej tak, jak radzi PW.

pigor:

	2
..., ... wychodzi mi		, czyli odp. B
	5

Blue: Mila , nie mam pojęcia jak rozwiązać te zadania, mogłabyś napisać pełne rozwiązanie?

Kacper: Może ja jutro

Eta: zad2/ odp D) ( tu zastosuj mój ulubiony wzorek

pigor: ... jak ktoś (tak, tak ... Ciebie mam na myśli − z góry dzięki) narysuje rysunek do zadania 1), to i ja jutro swoje rozwiązanie pokażę

Eta:

pigor: ..., kurde, no nie w 4 minuty taki piękny rysunek ; zazdroszczę Ci ; o to mi chodziło, ale do jutra; dobranoc

Eta: zad2/ Trójkąty DCO i ABO są podobne w skali p to P(ABO)=P₂ , P(DCO)= p²*P₂ i P₃=P₄= p*P₂ P(trapezu)= P₂+2P₃+P₁ = P₂+2p*P₂+p²*P₂= (p²+2p+1)*P₂= (p+1)²*P₂ P(trapezu)=(p+1)²*P₂

P(tr)		(p+1)2*P2
	=		= (p+1)2
P2		P2

Eta: π..

Mila: Napiszę. 1) analizujesz , trochę pomyśl, bo rozwiązanie zajmie Ci na egzaminie dużo czasu. P− pole ΔABC u,v,z,s − pola małych trójkątów

	1
u+v=		P , bo AK to środkowa Δ
	2

	1
z+s+v=		P ⇔
	2

u+v=z+s+v⇔u=z+s

	2
ΔAMP i ΔMPB mają wspólna wysokość⇔z=		s
	3

	2		5
u=		s+s=		s
	3		3

ΔAMP i ΔAPC mają wspólną wysokość, w takim razie

z		MP		2   s 3		2
	=		=		=
u		PC		5   s 3		5

MP		2
	=
PC		5

Zadanie z trapezem Eta rozwiązywała wiele razy, wpisz Eta trapezy, znajdziesz.

Kacper: Zaznaczam

Mila: Co zaznaczasz? Kacper?

Mila: pigor, jaki masz pomysł na to zadanie (1), może krócej?

Eta: Hej Mila zad1/ też mam takie rozwiązanie

Kacper: Zaznaczam sobie, bo potem szukam zadań i znaleźć nie mogę

Eta: Witam Kacper .... pierwsze szlaki w szkole przetarte?

Mila: Witam, Eto, moze pigor coś wymysli krótszego, błskotliwego, albo PW. Napisałam to rozwiazanie, bo widziałam , gdzieś podobne zadanie otwarte, trzeba było obliczyc pola wszystkich tych trójkącików.

pigor: ..., o pomysł mam identyczny też z tego tw. o stosunkach pól ΔΔ o jednakowych wysokościach ale czy krótszy, chyba nie (mam to nabazgrane na kartce) ; jutro zobaczę jak to wygląda −−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−− a teraz idę dalej oglądać tenis ...

Kacper: Eta nie jest tak źle

Kacper: Wystarczy taki rysunek Widać, że odp A i D odpadają (więcej niż połowa) Zostały B i C. Ja sobie to umieściłem w układzie współrzędnych i policzyłem współrzędne punktu P. Nie jest to sposób uniwersalny, ale dla osób, które nie "widzą" rozwiązania Mili wystarczą Może jeszcze coś znajdziecie na moim rysunku, co pomoże szybciej rozwiązać

pigor: ..., a więc wstałem... już, no to (aby nie zamieszać) z rys.Mila 21:39 i tw. o którym mówię powyżej ^z_u = ^|MP|_|PC| = ? mam układ równań dla pól powierzchni z,s,u, v ΔΔ podziału ΔABC: z+s+v = u+v i ^z_s = ²₃ ⇔ z+s = u i 3z = 2s , stąd, szybko, bo to test np. tak: ^z_u + ^s_u =1 i ^s_u = ³₂*^z_s ⇒ ⇒ ^z_u + ³₂*^z_s = 1 ⇔ ⁵₂*^z_s =1 ⇔ ^z_s = ²₅. . ...

Blue: Mila, a ja nawet wiem, gdzie się z podobnym zadaniem spotkałaś ^^ Dzięki wszystkim za odp! Nie wiem, co bym bez Was zrobiła

Blue: Eta, nie rozumiem, jak doszłaś, że P₃= p*P₂.

5-latek: NIe rozumiem Ciebie . czy tak trudno zajrzec do ksiazki albo wpisac w wyszukiwarke Eta trapezy

daras: pewnie Blue pracuje i nie ma na to czasu, wiec wrzuca w maszynkę do rozwiazywania zadań kolejne posty i ,cytuję: "czeka na rozwiązania"

Blue: A co to mi da, że tak wpiszę? Przecież tych zadań jest mnóstwo, a mi chodzi akurat o to konkretne...

pigor: ...,, to może jeszcze ... np. tak : zad.2) |CD| : |AB|=p ⇒ P₁: P₂=p², ale P₄+P1=P₃+P1 ⇒ P₄=P₃ , ponadto P₃ : P₂ = P₁: P₃ ⇒ p₃² = P₁P₂ ⇒ P₃ = √P₁P₂,

	PABCD		P1+2P3+P2		P3
zatem		=		= p2+2		+1=
	ΔABO		P2		P2

	√P1P2		P1
= p2+2		+1= p2+2√		+1= p2+2p+1=(p+1)2...
	P2		P2

PW: Powróćmy do zadania 1. Banalność rozwiązania może powodować wściekłość. Czytelnik sam sporządzi rysunek. W podstawie trójkąta można zobaczyćć pięć odcinków o jednakowej długości, ich końce to A, A₁, M, B₁, B₂ i B. Prosta AK wyznacza połowę boku BC. Proste równoległe do AK przechodzące przez A₁, M, B₁ i B₂ wyznaczają na ramieniu BC kąta ABC punkty K₁, K₂, K₃ i K₄. Na mocy twierdzenia Talesa odcinki KK₁, K₁K₂, K₂K₃ , K₃K₄ i K₄B mają także równe długości, dzielą więc odcinek KB na pięć równych części.

	|MP|		|K2K|		|K2K|		2
		=		=		=		.
	|PC|		|KC|		|KB|		5

pigor: ..., No jasne, pięknie,a przecież dobrze pamiętam tę konstrukcję podziału odcinka jako jedno z zastosowań tw. Talesa; dziękuję PW ; no i teraz już wiem dlaczego to zadanie z całą odpowiedzialnością jego autora (ów) nadaje się ... na pewno na test ;

Kacper: Takie proste zadanie (o ile zna się odpowiedź)

PW: Biorąc pod uwagę różne padające tu pomysły i czas jaki mnie to zajęło, nie jest to takie sobie zadanie testowe do rozwiązania w 5 minut. Co innego, jeżeli akurat "przerabiamy Talesa" − wtedy samo się nasuwa dorysowanie czegoś równoległego. Wniosek: zadanie dobre na klasówkę z działu "twierdzenie Talesa", na maturę już jakby mniej dobre. Nie jest to żaden paradoks, często nadmiar wiedzy przeszkadza.

Kacper: Wegług mnie zadanie też na pewno nie na testowe na maturze. Jako otwarte mogłoby być.

Blue: Pigor, skąd się wzięło to P3 : P2 = P1: P3 ?

pigor: ..., no cóż niech to zostanie moją ... "słodką" ... , bo. i tak masz w czym wybierać, a skąd i dlaczego powinnaś już dawno załapać, gdyż niejedno zadanie ci rozwiązałem tym właśnie sposobem pisząc na ten temat więcej tylko, że ciebie moje rozwiązania nie interesowały, więc niech tak zostanie .

Blue: To może mi powiesz chociaż skąd się wzięło P3=P4= p*P2 w rozwiązaniu Ety?

Blue: I przepraszam, że być może mnie nie interesowały Twoje rozwiązania po prostu czasem wymagają pomyślenia, a jeśli ktoś wstawia prostszy sposób i jeszcze z rysunkiem, to sam rozumiesz

eta: πππ

Eta: Δ