rr pomocy Paula: Metodą szeregów potęgowych znajdź rozwiązanie problemu. y`(x) = x + y(x) Y(0) = 1 Mógłby mi to ktoś wytłumaczyć? główny wzór to y=∑a<sub>n</sub> x<sup>n</sup> − suma od n = 0 do ∞ 1 = y(0) = ∑a<sub>0</sub> * 0<sup>0</sup> = ∑a<sub>0</sub> = a<sub>0</sub> y`(x) = ∑a_n * nxⁿ⁻¹ − suma od n = 1 i co dalej?

daras: https://matematykaszkolna.pl/forum/256856.html

Paula: daras widze ze dowcipny sie stajesz, skoro nie chcesz pomoc to ok spoko ale prosze nie staraj sie denerwowac innych

Paula: podstawiam dane do wzoru i mam ∑_n=1a_n * nxⁿ⁻¹ = x + ∑_n=0 a_nxⁿ potem ∑_n=0a_n+1 * (n+1)xⁿ = x + ∑_n=0 a_nxⁿ i jak dalej? gdy: n=0 to....

daras: @Paula jestem taki od dziecięcia moge polecić Ci kilka dobrych tytułów, daleko masz do tej biblioteki ?

Paula: mniej więcej 80km jesli mowimy o biblotece z mojej uczelni, wiec daj mi spokoj z ta biblioteka dziś, więc jeśli umiesz pomóc to pomoż

Paula: tak jak myslalam nikt nie potrafi pomoc

Trivial: Rozwiązanie jest bardzo proste. Wystarczy podstawić rozpisać y = ∑ a_nxⁿ i obliczyć każde a_n. Równanie nie jest zbyt skomplikowane, więc można oczekiwać nawet tego, że szereg, który otrzymamy będzie dosyć znajomy. y' = x + y Podstawiamy y = ∑_n=0..∞ a_nxⁿ = a₀ + ∑_n=1..∞ a_nxⁿ ∑_n=1..∞ na_nxⁿ⁻¹ = x + ∑_n=0..∞ a_nxⁿ Trzeba przeindeksować lewą sumę tak, żeby było xⁿ. Następnie należy zwinąć wszystko pod jedną sumę. ∑_n=0..∞ (n+1)a_n+1xⁿ = x + ∑_n=0..∞ a_nxⁿ ∑_n=0..∞ [(n+1)a_n+1 − a_n]xⁿ = x To ma być równe tożsamościowo, czyli poszczególne współczynniki wielomianów po lewej i prawej stronie muszą być takie same. Otrzymujemy równania: (n = 0) a₁ − a₀ = 0 x⁰ (n = 1) 2*a₂ − a₁ = 1 x¹ (n ≥ 2) (n+1)a_n+1 − a_n = 0 x², x³, x⁴, ... Ponieważ a₀ = 1 to: a₁ = 1 2*a₂ = 1 + a₁ → a₂ = 1 Ostatnie równanie jest trochę trudniejsze, ale można odgadnąć odpowiedź. Przekształcamy je do postaci:

	an
an+1 =
	n+1

Czyli inaczej (dla n ≥ 3):

	an−1
an =
	n

Rozwijamy rekurencyjnie i mamy odpowiedź:

	an−1		an−2		an−3
an =		=		=		= ...
	n		n(n−1)		n(n−1)(n−2)

	a2		1		2
=		=		=
	n(n−1)(n−2)...(4)(3)		n(n−1)(n−2)...(4)(3)		n!

Zatem rozwiązaniem jest:

	2
y = 1 + x + x2 + ∑n=3..∞		xn
	n!

Spróbujmy zwinąć rozwiązanie do postaci zamkniętej. Nic prostszego!

	2		2		2		2
y = −(1+x) +		+		x +		x2 + ∑n=3..∞		xn
	0!		1!		2!		n!

	1
= −(1+x) + 2∑n=0..∞		xn
	n!

= 2e^x − 1 − x. Jak widać rozwiązanie było proste. Wystarczyło trochę się pobawić.

daras: proste ale i długie poza tym Paula juz tu nie zagląda

Trivial: To bez znaczenia. Zawsze lubię spróbować czegoś nowego.