dowód arli28: Udowodnij, że jeśli a>0, b>0 oraz a+2b=1 to ab≤1/8

razor: a = 1−2b

	1
(1−2b)b ≤		|*8
	8

−16b²+8b−1 ≤ 0 16b²−8b+1 ≥ 0 (4b−1)² ≥ 0

arli28: dzięki

PW: Plus formułka o równoważności kolejnych nierówności, bo obetną punkt. Czy mi się wydaje, czy założenie a,b>0 było zbędne?

Saizou : możemy też ze średnich skorzystać

a+2b
	≥√2ab
2

1
	≥√2ab
2

1
	≥2ab
4

1
	≥ab
8

Eta:

pigor: ... ze średnich g≤a do ... mojej sz. √a*2b ≤ ¹₂(a+2b) i a+2b=1 ⇒ √a*2b ≤ ¹₂*1 /² ⇒ ⇒ 2ab ≤ ¹₄ /:2 ⇔ ab ≤ ¹₈ .c.n.u. . ...

Saizou : pigor dokładnie to samo napisałem xd

Eta: pigor .... łyknąłeś π....i ?

pigor: ..., ja wiem , przepraszam, ale po fakcie; to tak jak robi się kilka ... rzeczy równie ciekawych jednocześnie . ...

Eta:

PW: Jako przeciwnik korzystania z tezy w dowodzie przypomnę prościutki dowód korzystający z własności funkcji kwadratowej, możliwy do przeprowadzenia dla ucznia, który nie zna nierówności między średnimi. Jeżeli a+2b = 1, to a = 1 − 2b, wobec tego badany iloczyn przyjmuje postać (1 − 2b)b. Funkcja kwadratowa f(x) = (1 − 2x)x

	1
osiąga maksimum dla x0 =		, maksimum to jest równe
	4

	1		1		1		1		1		1
f(		) =		(1 − 2•		) =		•		=		,
	4		4		4		4		2		8

stwierdzenie to kończy dowód badanej nierówności. Teraz widać bez żadnej wątpliwości, że założenie a>0 i b>0 było zbędne, nierówność jest prawdziwa dla wszystkich a i b spełniających warunek a + 2b = 1.

pigor: .. właśnie, dzięki PW ; wszyscy (... ja też ) rzuciliśmy się na średnie, a przecież jest poczciwy trójmian kwadratowy często niezawodny, nawet bez pomocy ..."delty', za którą nie przepadam; pozdrawiam . ...

PW: Zwróciłeś uwagę na ciekawą sprawę: gdyby to było zadanie typu "znajdź maksymalne pole prostokąta, którego boki spełniają ... itd.", to raczej mało kto rozwiązywałby je za pomocą nierówności między średnimi, a przecież można ...