Trygonometria Blue: Rozwiąż równanie: (3tgx+1)(1+sin2x) = 1 − tgx Doszłam do takiej postaci, ale nie wiem, co mam robić dalej: 2cos²x+(4+6sinx)cosx= 0 Pomożecie? Nie wiem za bardzo czy to rozwiązywać, jak f. kwadratową, czy co...

b.: nie sprawdzałem rachunków, ale teraz można rozważyć 2 przypadki: 1. cos x = 0 −−> rozwiązania 2. cos x ≠ 0 − wtedy dzielimy obustronnie przez cos x i rozwiązujemy, wyniki chyba będą trochę nieprzyjemne (nie do końca jawne).

J: W tym przykładzie cosx jest z założenia rózny od zera... ( warunek istnienia tgx)

b.: racja

Blue: A mógłby to ktoś obliczyć dokładnie?

b.: Twoje przekształcenia nie są poprawne, spróbuj jeszcze raz lub napisz, jak to liczyłaś.

PW: Widzę to np.tak:

	2sinxcosx		2sinxcosx		2tgx
sin2x =		=		=
	1		sin2x+cos2x		tg2x+1

(licznik i mianownik dzielimy przez cos²x, w tym zadaniu różny od zera). Wzór

	2tgx
sin2x =
	tg2x+1

jest również gotowy w tablicach. Po oznaczeniu tgx = t badane równanie przyjmuje postać

	2t
(3t+1)(1+		) = 1 − t
	t2+1

− trochę mechanicznych rachunków, ale co za ulga dla mających wstręt do trygonometrii.

Mila:

	π
x≠		+kπ
	2

(3tg(x)+1)*(1+sin(2x))+tg(x)=1 3tg(x)+3tg(x)*sin(2x)+1+sin(2x)+tg(x)=1⇔ 4tg(x)+3tg(x)*sin(2x)+sin(2x)=0 tg(x)*[4+3sin(2x)]+sin(2x)=0

sin(x)
	*[4+3sin(2x)]+2sinx*cosx=0 /*cosx
cos(x)

sinx*(4+3sin(2x)]+2 sinx*cos²x=0 sinx*(4+3sin(2x)+2cos²x)=0 sinx=0 i (4+3sin(2x)+2cos²x)>0 [3sin(x) może mieć najmniejszą wartość (−3)] x=kπ ====

Blue: Milka Twoje rozwiązanie jest świetne, wszystko rozumiem. Nie wiem, co mi wyszło źle , że tak przekształciłam, pewnie znowu jakieś błędy rachunkowe... PW Twoje rozwiązanie jest interesujące, bo można się pozbyć f. trygonometrycznych, lecz nie widzę, tego wzoru, który podałeś w karcie. Jest tylko coś takiego: sin2x= 2sinxcosx

Blue: Mila* przepraszam Cię za literówkę

Mila: Milka też ładnie.

PW: Blue, nie wiem czy jakiś wzór jest "na karcie", jestem za leniwy żeby czegoś takiego szukać. Widzę, że masz duży zapał, więc coś jeszcze dodam. Wzór, którego łatwe wyprowadzenie pokazałem, jest jednym z "wzorów połówkowych" pozwalających dowolną funkcję trygonometryczną argumentu 2x przedstawić za pomocą wyrażenia zależnego tylko od tgx. Wyprowadza się je według jednego wzorca, np.

	cos2x − sin2x
cos2x = cos2x − sin2x =		=
	sin2x + cos2x

	1 − tg2x
= [dzielimy licznik i mianownik przez cos2x] =		.
	tg2x +1

Spróbuj wyprowadzić wzór na tg2x − wyrazić tg2x za pomocą wyrażenia zawierającego tgx. Wzory te są czasami bardzo pomocne, ale przyznam się, że nigdy ich nie umiałem "na pamięć" − wystarczy zrozumieć metodę, a przekształcenie jest banalne. W równaniu (3tgx+1)(1+sin2x) = 1 − tgx było bardzo korzystne wyrażenie sin2x za pomocą tgx − tylko jedna operacja i mamy

	sinx
równanie, w którym jedyną niewiadomą jest tgx. Sposób tradycyjny − zamiana tgx =
	cosx

powoduje, że zostaje równanie z dwiema niewiadomymi: sinx i cosx; dalsza walka z nim, jak pokazała Mila, wymaga biegłości w przekształceniach trygonometrycznych (przeciętny uczeń gubi się w połowie i uznaje, że "nic nie wychodzi"). Zwłaszcza wniosek w przedostatnim wierszu z 20:36 z 1 września jest mistrzowski − nie przekształcać dalej, lecz coś zauważyć.