Całka szczególna Adi: Wyznacz całke szczególną równania spełniając dane warunkia) a) xy'−y = x²+x , y(1) = 2 b) y" +4y' + 5y = 0 ,y(0) = −3 , y'(0) = 0 Prosze o krótki opis wykonywanych czynnosci

pigor: ..., np. metodą uzmienniania stałej tak: a) xy'−y = x²+x , y(1)= 2 ⇒ jego równanie jednorodne xy'−y =0 ⇔ ⇔ x ^dy_dx =y ⇒ xdy= ydx ⇒ ^dy_y = ^dx_x i całkując obustronnie ⇒ ⇒ ∫^dy_y= ∫^dx_x ⇒ lny=lnx+lnC ⇔ lny=lnCx ⇒ y= Cx i uzmienniając stałą C: (*) y = C(x)x − całka ogólna , y ' = C'(x)x+C(x)*1, stąd dane równanie niejednorodne przyjmie postać: x(C'(x)x+C(x)) −C(x)x = x²+x ⇔ C'(x)x²+C(x)x −C(x)x = x²+x ⇔ ⇔ C'(x)x²= x²+x /:x² ⇒ C'(x)= 1+ ¹_x i całkując obustronnie ∫ C'(x)dx = ∫(1+ ¹_x)dx ⇒ C(x)= ∫dx −∫^dx_x ⇔ C(x)= x −lnx +C, stąd i z (*) (**) y= (x −lnx +C)x − całka ogólna danego równania, ale y(1)=2, to z (**) 2= (1−1ln1+C)*1 ⇒ 2= 1−0+C ⇒ C=1, zatem y=x (x²+C−lnx) i C=1 ⇒ y=x (x²+1−lnx) − szukana całka szczególna .

Adi: dzieki

Trivial: Drugie jest bardzo schematyczne. Pierwiastki charakterystyczne i gotowe.