Dowód bezendu: Mam takie zadnie z listy PWr Udowodnij, że liczba √5 jest niewymierna f(x)=x²−√5 Gdyby ten wielomian miał pierwiastki wymierne, to z twierdzenia o wymiernych pierwiastkach wielomianu, musiałaby to być jedna z liczb −5,5,1,−1 Żadna z tych liczb nie jest pierwiastkiem tego wielomianu, zatem nie ma on pierwiastków wymiernych. Więc √5 nie jest liczbą wymierną. Co tu jeszcze mam dopisać ? Żeby było poprawnie. Nie chodzi o poziom liceum tylko poziom politechniki.

Kacper: Czasem niektórzy doktorzy mogą się doczepić, że słowo "udowodnij" domaga się skorzystania z definicji.

bezendu: To może pokaż jak inaczej przeprowadzić ten dowód. Ja to robiłem na bazując na tym co robiłem do matury

Andrzej: To twierdzenie dotyczy wielomianów o współczynnikach całkowitych. Podany przez Ciebie wielomian nie spełnia założenia. Takie rzeczy dowodzi się najlepiej metodą "nie wprost", czyli zakłada się, że liczba jest wymierna i doprowadza do sprzeczności z założeniem,

zombi:

	p
Załóżmy, że		jest pierwiastkiem wielomianu f(x), gdzie p,q∊C i NWD(p,q) = 1
	q

Wtedy

	p
f(		) = 0
	q

⇔

p2		p2
	− √5 = 0 ⇔		= √5, wobec tego
q2		q2

p² = √5q⁵ Lewa strona jest liczbą wymierną natomiast prawa niewymierną. Ew. pokazać dodatkowo, że √5 jest nierwymirny

Saizou : bezednu widzę że uważnie nie oglądałeś http://www.portal.pwr.wroc.pl/1811035,241.dhtml

bezendu: Saizou nie oglądam tych wykładów.

Saizou : to przepraszam, myślałem że je widziałeś

Mila: Bezendu, chyba chodzilo Ci o wielomian w(x)=x²−5

bezendu: Nie, napisałem liczba √5. O żadne wielomian mi nie chodziło.

Mila: To rozumiem, ale chciałeś skorzystać z własności wielomianu o całkowitych współczynnikach.

bezendu: Tak, ale jak się okazuję to jest błędne.

Mila: Nie jest to błędna droga . w(x)=x²−5 to wielomian o całkowitych wsp., jeśli posiada wymierne pierwiastki to są podzielnikami (−5) A={−1,1,5,5} wymierne liczby , które mogą być pierwiastkami wielomianu. x²−5=0⇔ x=√5∉A lub x=−√5∉A ⇒√5 nie jest liczbą wymierną. R=W∪ NW⇔√5− liczba niewymierna.

bezendu: Tak napisałem przecież. I również wypisałem takie same pierwiastki... 18:58...

Kacper: Nie napisałeś tego samego.

bezendu: ?

jakubs: x²−√5 ≠ x²−5

bezendu: A no tak ale gafa. Ale chodziło mi o to co Mili

m: Załóżmy, że √5 da się zapisać w postaci nieskracalnego ułamka

	m
√5 =		,
	n

m − całkowite n − całkowite różne od zera wykonujemy potęgowanie

	m2
5 =
	n2

5n² = m² 5 * n * n = m * m Przyjrzyj się uważnie tej równości. n, m nie da się już skrócić dalej, zatem jak n=5 to m może być na przykład 7 i wtedy mamy trzy piątki po lewej i zero piątek po prawej, albo inny przypadek Jak m = 5 to n może być na przykład 11, wtedy po lewej mamy jedną piątkę a po prawej dwie. W tej równości przy rozkładzie na czynniki pierwsze liczba 5 występuje po lewej stronie nieparzystą ilość razy. Po prawej zaś stronie parzystą ilość razy lub w ogóle. Wobec tego równanie jest fałszywe. Jeszcze raz. Wiemy, że liczby w równaniu są rozłożone na czynniki pierwsze, czyli aby równanie było prawdziwe obie liczby po lewej i prawej stronie w równaniu muszą mieć taką samą ilość składników. Wykazaliśmy, że tak nie jest (po lewej stronie nieparzysta liczba piątek, po prawej parzysta), zatem równanie jest sprzeczne a tym samym liczba √5 nie jest wymierna. Jest niewymierna.

bezendu: Znalazłem rozwiązanie w linku który kiedyś podała mi Mila to samo co 20:17 kopiuj−wklej

bezendu: Ale dziękuję za pomoc