baza i wymiar jadra miski: jak wyznaczyc wymiar i baze jadra przeksztalcenia gdy mam przyklad: f:R²→R² f(x,y)=(x−y,x+y)

miski: albo na innym przykladzie, ale prosze o wyjasnienie w jaki sposob postepowac aby wyznaczyc.

miski: moge liczyc na wasza pomoc

poeta: Jak to mówią: Umiesz liczyć ? Licz na siebie !

miski: to do czego sluzy to forum skoro mam liczyc na siebie? myslalam ze jakas pomoc sie tu znajdzie

tm: A czytać studentka umie? To jest forum dla uczniów LO.

Maslanek: Dla studentów też Niech będzie dane przekształcenie f:X−>Y Baza: Elementy zbioru X, które po przekształceniu dają elementy neutralne, tj. wszystkie elementy x∊X, dla których f(x)=0_Y (0 − element neutralny zbioru) Jądro: Wszystkie elementy zbioru Y, które można uzyskać po działaniu funkcji na elementach zbioru wejściowego. Tj. w∊Im f ⇔ (∃ x∊X) (f(x)=w)

Maslanek: Co do przykładu: Niech z=(x,y), w=(a,b); x,y,a,b∊R z∊Ker f ⇔ (x,y)∊Ker f ⇔ f(x,y)=(0,0) ⇔ (x−y=0 oraz x+y=0) ⇔ (x,y)=(0,0) w∊Im f ⇔ (∃ m∊R²) f(m)=w ⇔ (∃ m₁,m₂∊R) (m₁−m₂, m₁+m₂)=(a, b) ⇔ (∃ m₁,m₂∊R) (a=m₁−m₂ oraz b=m₁+m₂) ⇔ w∊R² ⇔ Im f=R² Dodatkowo mamy twierdzenie, że dim(Ker f) + dim(Im f)=dim(X) tutaj dim(Ker f)=0 i dim(X)=2. Czyli dim(Im f)=2. Stąd bezpośrednio Im f=R²