Pokazać, że cztery płaszczyzny przecinają się wzdłuż prostej Karolina: Pokazać, że cztery płaszczyzny o równaniach: H₁ : 2x + 2y + z + 1 = 0 H₂ : x + 4y − z +2 = 0 H₃ : x − 2y + 2z − 1 = 0 H₄ : x + 2y = −1 Przecinają się wzdłuż prostej. Znaleźć odległość punktu A( 3, −1, −2) od tej prostej. Wiem, że trzeba rozwiązać układ równań utworzony z tych czterech równań płaszczyzn i wyznaczyć ich punkt przecięcia. Jednocześnie będzie to punkt należący do prostej, którą trzeba wyznaczyć. Potrzebuje również wektora kierunkowego tej prostej i tu pojawia się mój problem, bo nie jestem pewna jak to zrobić. Myślałam o tym żeby pomnożyć wektorowo wektory normalne dwóch dowolnych płaszczyzn z tych czterech, ale nie wiem czy to dobre rozwiązanie, bo biorąc dwa inne wychodzi mi inny wektor kierunkowy. Bardzo proszę o podpowiedź jak to z tym wektorem kierunkowym prostej, bo dalej wzór na odległość znam

Mila: Znajdziesz równanie krawędziowe z przecięcia H₁ i H₂. Przyjmujemy z=t − parametr H1: 2x + 2y + z + 1 = 0 H2 : x + 4y − z +2 = 0⇔ 2x+2y=−t−1 /*(−2) x+4y=t−2 −4x−4y=2t+2 x+4y=t−2 ======= −3x=3t x=−t

	1		1
−t+4y=t−2⇔ 4y=2t−2⇔y=		t−
	2		2

Mamy równanie parametryczne prostej, x=−t+0

	1		1
y=		t−
	2		2

z=t+0 sprawdzamy czy spełnone są równania (H3) i H4, sprawdź! Wektor kierunkowy prostej:

	1
k→[(−1),		,1]
	2

x−0		1   y+   2		z−0
	=		=
−1		1   2		1

Dokończysz?

Karolina: Tak! Dzięki wielkie Nie wpadłabym tak na to

Mila: A masz odpowiedź?