mm: Czyli korzystam z tego tak?
Płat dany parametrycznie[edytuj | edytuj kod]
Niech płat dany jest równaniami x = x(u, v),\ y = y(u, v),\ z = z(u, v) i ponadto zachodzą
następujące warunki:
funkcje x(u, v),\ y(u, v),\ z(u, v) są klasy C1 w D;
D jest obszarem regularnym domkniętym, ograniczonym jedną krzywą zamkniętą zwykłą częściami
gładką;
różnym punktom wnętrza S odpowiadają różne punkty D;
wyrażenie H = \begin{vmatrix}
x
u & y
u\\
x
v & y
v\\
\end{vmatrix}
2 + \begin{vmatrix}
y
u & z
u\\
y
v & z
v\\
\end{vmatrix}
2 + \begin{vmatrix}
z
u & x
u\\
z
v & x
v\\
\end{vmatrix}
2 jest różne od zera wewnątrz D.
Wtedy
\iint\limits
Sf(x, y, z)\
S = \iint\limits
Df\big(x(u,v),\ y(u,v),\
z(u,v)\big)\sqrt{H}\
u\
v.
Uwaga. Wyrażenie H jest sumą kwadratów minorów macierzy jakobianowej
\frac{D(x,y,z)}{D(u,v)}=\begin{bmatrix}
x
u & y
u & z
u\\
x
v & y
v & z
v
\end{bmatrix}.
Przykłady zastosowania[edytuj | edytuj kod]
Jeżeli funkcja f(x,y,z) wyraża gęstość materialnego płata S w punkcie (x,y,z), to masa całego
tego płata jest równa \iint\limits
Sf(x,y,z)dS.
Pole powierzchni płata S jest równe \iint\limits
SdS.