Prosba 5-latek: Witaj Saizou Mam nadzieje ze na jutro tez przygotujesz mi jakas nierownosc do rozwiazania gdzie mozna bedzie wykorzystac srednie . Te ostatnie dwa przyklady byly pouczajace

Saizou: oczywiscie, poszperam w moich kartkach, ale to jutro, bo dzisiaj mi sie nie chce, albo sam cos wymysle

Eta: Witam zad1/ Wykaż,że dla a, b,c>0 takich,że a²+b²+c²=√3 zachodzi nierówność a²b²+b²c²+a²c² ≤1 zad2/

	1		1
dla a,b>0 zachodzi (a+b)(		+		)≥4
	a		b

	2xy
zad3/ dla x.y>0 i x≠y zachodzi √xy>
	x+y

zad4/ dla dowolnych rzeczywistych a, b a(a+2b) ≥ (6−3b)*b −17 zad5/ dla dodatnich x,y,z

	xy		xz		yz
		+		+		≥ x+y+z
	z		y		x

zad6/ Dla a,b,c >0 takich ,że a³+b³+c³= 81 zachodzi a+b+c ≤9 Powodzenia

5-latek: Dziekuje Bede mial co robic przez kilka dni Oczywiscie bede wstawial po kolei rozwiazania o ile mi sie uda rozwiazac a jak nie to poprosze o pomoc Ale Eta zaczne od jutra (nie pogniewaj sie na mnie proszse)

tom:

zombi: To masz jeszcze ode mnie takie: Zadanie 1. Liczby x,y,z > 0 spełniają warunek xyz = 1. Udowodnij, że (x+2y)(y+2z)(z+2x) ≥ 27 Zadanie 2. Liczby dodatnie x₁,x₂,...,x_n spełniają warunek x₁+x₂+...+x_n = 1 Wykaż, że

	1		1		1
(1+		)*(1+		)*...*(1+		) ≥ (n+1)n
	x1		x2		xn

Zadanie 3. Wykaż, że dla x>0 i n∊ℕ zachodzi

1		xn
	≥
2n+1		1+x+x2+...+x2n

Zadanie 4. Niech {a_n} będzie ciągiem arytmetycznym od wyrazach dodatnich wykaż, że zachodzi

a1+an
	≥ n√a1*a2*...*an
2

Zadanie 5. Udowodnij, że dla n∊ℕ zachodzi

n+1
	≥ n√n!
2

Zadanie 6. Udowodnij, że jeśli liczby dodatnie a_k, dla k=1,2,...,n spełniają warunek

	1
∑nk=1ak ≤ 1 to zachodzi ∑nk=1		≥ n2
	ak

Eta: Ejj zombi 5−latek się załamie

zombi: Chciał się bawić w średnie to proszę bardzo Nikt nie mówił, że będzie łatwo

Eta:

5-latek: Jak to mowia Co Cie nie zlamie to Cie wzmocni Dojdziemy do tego ,Widzialem tez na allegro ksiazke Mitrowica Slynne nierownosci Moze warto kupic ? Po niedzieli do pracy ale mysle ze damy rade . dzisiaj tez po poludniu sprobuje zaczac zadania od Ety

Kacper: To nie etap liceum, tylko olimpijski.

zombi: Kacper mówisz o tej książeczce czy o zadaniach?

Kacper: Zadaniach (o jakiej książce mówisz?) Na zajęciach takich się nie robi

zombi: O tej podanej przez 5−latka, tylko autor mi się nie zgadza bo Słynne nierówności to książka Kourliandtchik. Te co mu podałem to 2 pierwsze z Kółka Matematycznego Dla Olimpijczyków Henryka Pawłowskiego a pozostałe z książki Zadania z analizy matematycznej 1 Kaczor Nowak.

5-latek: Sprobujemy zrobic zadanie nr 1 od Ety Saiziou widze ze jestes na forum wiec mam nadzieje ze wrazie czego pomozesz Tresc zeby nie skakac : Wykaz ze dla a,b,c >0 i takich ze a²+b²+c²=√3 zachodzi nierownosc a²b²+b²c²+a²c² ≤1Najpierw moze moje przemyslenia co do tej nierownosci Ten skladnik a²b²+b²c²+a²c² wskazywalby nam na serdnia kwadratowa ale znowu srednia kwadrtowa nie moze byc mniejszsa lub rownia od innych srednich Teraz to wykaz ze mamy a b c >0 wskazuje ze mamy 3 liczby wiec mozna byloby wziac srednia arytmetyczna tych liczbAle nie moge napisac przeciez tak

	a+b+c
√U{a2b2+b2c2+a2c2}{3} ≤		bo to przeciez jest nieprawda
	3

Natomiast jesli wezme srednia arytmetyczna tych liczb to ten skladnik a²b²+b²c²+a²c² wskazywalby na srednia geometryczna (ale nie wiem jak ja zapisac )

	3
lub srednia harmoniczna tak zapisana		bo obir te srednie sa
	a2b2+b2c2+a2c2

mniejszse od sredniej arytmetycznej Wiec proszse o wskazowke ktory moj sposob rozumowania jest dobry .

5-latek: Bardzo prosze o podpowiedz

5-latek: Musze to napisac Podbijam

Saizou : najpierw sprostowanie, średnia kwadratowa może być mniejsza od innych średnich poczytaj np. o średnich rzędu n

Saizou : a jak na razie Ci nic nie przychodzi na myśl, omiń tę nierówność i weź się za inne, może Cię coś oświeci xd

5-latek: Czesc A gdzie mam o tym przeczytac ? Saizou tak jak pisalem bedzie srednia arytmetyczna bo mamy 3 liczby abc i teraz jak amy 3 liczby to musi byc srednia geometryczna ale 3 stopnia (nie wiem jak ja zapisac tutaj)

5-latek:

	a+b+c
Bysmy mieli tak		≤ no wlasnie
	3

Saizou : wygoogluj sobie "średnia potęgowa rzędu n" a tym zadankiem pokombinuj jeszcze, jak nie będziesz umiał, został je i jedź inne, może cię oświeci po drodze xd

5-latek: Wiesz ja wole jednak kartki przewracane ale tam tez oczywiscie popatrze . Teaz zadanie nr 2

	1		1
dla ab>0 zachodzi (a+b)(		+		)>=4 bez srednich to latwo bo suma liczby i jej
	a		b

odwotnosci >=2 ale ze srednimi to o wiele trudniej Skorzystam tu ze sredniej arytmetycznej i harmonicznej Zapisze to tak

	a+b		2
(		)>=		i po wymnozeniu na krzyz dostane
	2		1   1   + a   b

	1
(a+b)(		+{1}{b})>=4
	a

5-latek: Reszte te od Ety sa dla mnie za trudne , Brak teorii i praktyki . I tyle

zombi: Zadanie 3 dasz radę.

5-latek: Witaj zombi Jak patrze na zadamnie 3 to wychodzi mi ze srednia geometryczna jest wieksza od sredniej harmonicznej ale to tylko jak patrze. Ale jat to zapisac to najzwyczajniej nie wiem

zombi: Dobrze widzisz. Teraz udowodnij, że zachodzi GM−HM

5-latek: MIalem kiedys do udowodnienia taka nierownosc

	2
√ab>=		i wlasnie doszsedlem do tej postaci
	1/a+1/b

	2ab
√ab>=		normalnie to wiem jak to udowodnic ale wykorzystujac srednie to nie wiem
	a+b

Saizou : korzystasz ze średniej Gm≥Hm

	2
√ab≥
	1   1   + a   b

i przekształć prawą stronę xd

Saizou : a zad.6 ładny przykład na średnią potęgową rzędu n

5-latek: No tak . Jesli znasz literature gdzie to jest dobrze omowione i rozwiazane troche przykldow to proszse napisz

Saizou : ale na prawdę nie trzeba aż tak się w to zagłębiać średnia potęgowa rzędu n

	a1n+a2n+a3n+...+akn
Śrn=n√
	k

gdzie n− rząd średniej k− ilośc składników średniej i zachodzi nierówność Śr_n+1≥Śr_n ponad to dla n= –1 to średnia harmoniczna n= 0 to średnia geometryczna n=1 to średnia arytmetyczna n=2 to średnia kwadratowa

5-latek: wlasnie teraz czytalem o tym na google . Do zadania wroce jutro .bo musze to jeszce przemyslec , Jeszcze tylko pytanko do tego tutaj mamy a³ b³ i c³ wiec rzad sredniej to 3 a jesli by bylo a⁴ b⁴ i c⁴ to rzad sredniej bedzie 4 ? I jeszcze takie Napisales zzachodzi nierownosc Sr_n+1>=Sr_n mam to rozumiec ze np srednia rzedu 4 jest wieksza lub rowna sredniej rzedu 3 .

Saizou : dokładnie, ale pamiętaj też o przechodności xd śr₅≥śr₃ itp. np.

	a3+b3+c3
śr3=3√
	3

	x3+y3
śr3=3√
	2

5-latek: I jeszce chodzilo mi o jakies ksiazki gdzie jest pokazane jak rozwiazywac takie nierownosci i troche tych zadan jest rozwiazanych bo pewnie jakies metody sa pokazane

Saizou : http://www.tomaszgrebski.pl/viewpage.php?page_id=470 tylko ich chyba nie ma na stronie, ale zawsze możesz napisac z prośbą

5-latek: Ten post z godz 22:45 duzo wyjasnil dzieki Moze zle sie wyrazilem ale chodzi mi o ksiazki gdzie pokazane jest rowiazanie zadan ze srednich w ogole

5-latek: Juz dodaje to do ulubionych i postarm sie w najblizszym czasie zapytac .

Saizou : ja nie dysponowałem takimi, zapytaj lepiej zombiego albo Kacpra, mnie uczyła Eta i Godzio a i czasami pigor

5-latek: Dobrze. przy okazji zapytam

Saizou : to teraz zrób zadanko nr. 6

5-latek: wedlug mnie skorystamy ze srdniej atrymetycznej trzech liczb i sredniej potegowej rzedu 3 czyli

a+b+c		a3+b3+c3
	<=3√		po podniesieniu do potegi 3
3		3

(a+b+c)3
	<=27 pomoz dalej
27

Saizou : Dla a,b,c >0 takich ,że a³+b³+c³= 81 zachodzi a+b+c ≤9 napisałeś że

	a3+b3+c3		a+b+c
3√		≥		podstawmy nasze załozenie
	3		3

	81		a+b+c
3√		≥
	3		3

	a+b+c
3√27≥
	3

chyba już wystarczająco pomogłem

5-latek: tak dalej

	a+b+c
3>=		to a+b+c<=9
	3

czemu sobie tak bardzo utrudnilem (po prostu pozostalo ze sredniej arytmetycznej i potegowej ) Dziekuje za dzisiaj

Saizou : proszę, choć i tak dalej twierdzę ze nie umiem aż tak dobrze średnich jak bym chciał, ale takie zycie

5-latek: Jeszce jestes mlody . Studia przed Toba .Nauczysz sie

Saizou : powiedzmy

5-latek: Wracajac do zadania nr 1 czyli dla abc>0 i takich ze a²+b²+c²=√3zachodzi nierownosc a²b²+b²c²+a²c²<=1 Po podarowaniu sobie sredniej kwadratowej zastosuje srednia harmoniczna i srednia arytmetyczna Czyli

3		a+b+c
	<=
1   1   1   + + a2b2   b2c2   a2c2		3

3		a+b+c
	<=
c2+a2+b2   a2b2c2		3

3		a+b+c
	<=
√3   a2b2c2		3

dochodze teraz do momentu gdzie dalej nie wiem jak czyli 9a²b²c²<=√3abc

5-latek: Co robie zle ze to nie chce mi wyjsc ?

zombi: Ja bym to pokazał w ten sposób: Skorzystamy z tożsamości x² + y² + z² ≥ xy + xz + yz (udowodnij ją), gdzie x=a², y=b², z=c² ⇔ a⁴ + b⁴ + c⁴ ≥ a²b² + a²c² + b²c² | +2(a²c² + b²c²) ⇔ a⁴ + b⁴ + c⁴ + 2(a²c² + b²c²) ≥ 3(a²c² + b²c²) ⇔ (a²+b²+c²)² ≥ 3(a²c² + b²c²) ⇔

	(a2+b2+c2)2		3
a2c2 + b2c2 ≤		=		= 1 ckd
	3		3

zombi: Oczywiście w drugiej,trzeciej,czwartej i piątej zamiast (a²c²+b²c²) ma być a²c²+a²b²+b²c²

5-latek: Sprobuje to udowodnic ale po lekturze. A z mojego da sie cos wyczarowac ? czy to nie te srednie ktore zastosowalem ?

zombi: Hmmm ja tu bezpośredniej nierówności między średnimi w tym zadaniu nie widzę. Co najwyżej do udowodnienia tożsamości x²+y²+z² ≥ xy+xz+yz dla x,y,z>0 można wykorzystać nierówności między średnimi

Saizou : a²+b²+c²=√3 /² a⁴+b⁴+c⁴=3−2(ab)²−2(ac)²−2(bc)²

a4+b4
	≥√(ab)4=(ab)2
2

a4+c4
	≥√(ac)4=(ac)2
2

b4+c4
	≥√(bc)4=(bc)2
2

=========================+ a⁴+b⁴+c⁴≥(ab)²+(ac)²+(bc)² 3−2(ab)²−2(ac)²−2(bc)²≥(ab)²+(ac)²+(bc)² 3≥3[(ab)²+(ac)²+(bc)²] 1≥(ab)²+(ac)²+(bc)²

Kacper: Nudzi wam się ?

5-latek: To jest jednak za ciezkie juz dla mnie . Odpuszczam to sobie na jakis czas . Pewnie do tego wroce . Poczytam lekture od Mili i zobacze czy bede sie w to dalej bawil . dziekuje CI za pomoc ktora do tej pory mi udzielies Rowniez dziekuje Saizou za pomoc .

zombi: Właśnie o to mi chodziło co Saizou napisał. Nierówność rozbita na 3 mniejsze dla 2 składników, kolejno a⁴,b⁴; a⁴,c⁴; b⁴,c⁴ AM−GM

a4+b4
	≥ a2b2 sumując 3 mamy udowodnioną nierówność
2

a⁴+b⁴+c⁴ ≥ a²b² + a²c² + b²c², co jest przypadkiem nierówności o której wspominałem dla x=a², y=b², z=c².

5-latek: czesc Kacper Chcialem pobawic sie w srednie w nierownosciach . Do tej pory byly latwe do odgadniecia , Jednak te sa juz dla mnie trudne na razie odpuszczam , Takze niektore przeksztalcenia tez mnie zatrzymuja . trudno . Jak CI poszsedl 1 dzien w przacy ?