... Radek:

	cos(n2)
limn→∞		?
	n−5

PW: Wskazówka: cos jest funkcją ograniczoną.

Radek: o tym wiem, a dalej ?

sushi_gg6397228: 3 ciagi

WueR: Mozna tez udowodnic, ze jezeli ciag x_n jest ograniczony oraz y_n zbiezny do zera, to wowczas: x_n*y_n → 0.

Radek: ?

razor:

−1		cos(n2)		1
	≤		≤
n−5		n−5		n−5

Radek: Czemu z 3 ciągów akurat ?

Mila: Radek masz podane dwa sposoby: 1) z twiedzenia: Granica iloczynu ciągu dążącego do zera i ciągu ograniczonego jest równa 0.

	1
|cos(n2)|≤1 zatem ciąg ograniczony, limn→∞(		)=0⇔
	n−5

	cos(n2)
limn→∞		=0
	n−5

2) Z tw. o trzech ciągach. −1≤cos(n²)≤1 / : (n−5) ( n−5>0 dla n >5, a przecież n→∞)

−1		cos(n2)		1
	≤		≤
n−5		n−5		n−5

ciągi "zewnętrzne":

	−1		1
limn→∞(		)=0 i limn→∞(		)=0⇔ ciąg środkowy też dąży do 0
	n−5		n−5

============================================================

Radek: Dziękuję,zrozumiałem to już. Teraz z innymi się borykam problemami

Mila: .

Radek: Kiedy ogranicz się ciąg z góry i dołu i po co się to robi ?

Mila: Tak korzystamy z tw. o trzech ciągach.

Radek: ?

WueR: Uzywajac tw. o trzech ciagach staramy sie znalezc takie ciagi (spelniajace zalozenia twierdzenia), ktorych granice latwiej jest obliczyc. A ze jeden przyjmuje wieksze wartosci, drugie mniejsze od tego, ktorego granicy poszukujemy, to rowniez jego granica tyle musi wyniesc. O tym nietrudno sie przekonac chociazby intuicyjnie.

Radek: Ale mi chodzi o coś innego ? Pytanie 21:55 a nie wcześniejsze zadanie.

WueR: W przypadku "poprawnego" uzycia celem jest, jak powiedzialem − ulatwienie znalezienia danej granicy. Co do "poprawnosci" to mam na mysli niewykorzystywanie tw. do liczenia granic ciagow jak np. x_n = n.

Radek: takie coś

	1	n 1		1	n 2		1	n 3
limn→∞			+			+
	n			n2			n3

	1		n 1		1	n 2		1	n 3
limn→∞		[		+			+			]
	n				n			n2

Mogę skorzystać z tego

	an+1
|		| ?
	an

Mila: Tam masz symbole Newtona?, to najpierw oblicz i przedstaw w prostszej postaci.

Radek: Tak. Symbole Newtona.

Mila: Zrób, jak napisałam 22:29

Radek: po uproszczeniu mam

	n−1		(n−1)(n−2)
1+		+
	2		6n2

Mila: Pomyłka w środkowym składniku.

Radek:

	n−1		(n−1)(n−2)
1+		+
	2n		6n2

Mila: Teraz granica. Po kolei.

	n−1		1
limn→		=
	2n		2

dokończ

Janek191:

( n − 1)( n −2)		(1 − 1n)( 1 − 2n)
	=
6 n2		6

Radek:

	1
g=		?
	6

Janek191: Tego co napisałem − TAK Teraz trzeba dodać

Radek: Czemu dodać ? Można tak wgl ?

Mila: Lim(a_n+b_n+c_n)=lim (a_n )+lim (b_n )+lim( c_n) o ile istnieją granice tych ciagów.

Radek: Nie znałem tego twierdzenia, przepraszam.

Mila: To już znasz. Dobranoc