ohjihoho zombi: Niech a będzie ustaloną liczbą rzeczywistą i niech wyrazu ciągu spełniają warunek a_n+1 = (a_n)² + (1−2a)a_n + a² Dla jakich a₁ ten ciąg jest określony i zbieżny? W przypadku zbieżności wyznacz granicę tego ciągu.

WueR: Wszystko ok w tresci?

WueR: Czy masz tutaj podane jakies warunki poczatkowe? a₀, a₁?

Godzio: Napiszę co wymyśliłem, może inni albo Ty coś wymyślą (pokazałem, że ciąg dla a₁ ≠ a jest rosnący, teraz trzeba jakoś ograniczoność górną pokazać, dla a₁ = a − przypadek trywialny) a_n+1 = a_n² + (1 − 2a)a_n + a² a₂ = a₁² + (1 − 2a)a₁ + a² Załóżmy, że a₂ > a₁. Sprawdźmy naszą hipotezę: a₂ > a₁ ⇔ a₁² − 2aa₁ + a² > 0 ⇔ (a₁ − a)² > 0 ⇔ a₁ ≠ a Niech a₁ ≠ a oraz Załóżmy, że ciąg jest rosnący, indukcyjnie pokażemy, że ciąg jest rosnący. Niech a_{n + 1} > a_n. (pierwszy krok sprawdziliśmy przed chwilą) a_{n + 2} − a_{n + 1} = a_{n + 1}² + (1 − 2a)a_{n + 1} + a² − a_n² − (1 − 2a)a_n − a² = = (a_{n + 1} − a_n)(a_{n + 1} + a_n) + (1 − 2a)(a_{n + 1} − a_n) = = (a_{n + 1} − a_n)(a_{n + 1} + a_n + 1 − 2a) = = (a_{n + 1} − a_n)(a_n² + (2 − 2a)a_n + a² + 1 − 2a) = = (a_{n + 1} − a_n)(a_n + 2(1 − a)a_n + (1 − a)² ) = = (a_{n + 1} − a_n)(a_n + 1 − a)² ≥ 0 z założenia + (a_n + 1 − a)² ≥ 0 (to wiadomo) Stąd a_n − rosnący. ###### ###### BRAK POMYSŁU ###### Niech a₁ = a a₂ = a² + (1 − 2a)a + a² = a² + a − 2a² + a² = a Przypuszczenie a_n = a. Dla a₁ działa Niech a_n = a wówczas a_{n + 1} = a² + (1 − 2a)a + a² = a² + a − 2a² + a² = a Stąd ciąg jest ciągiem stałym i a_n = a więc i granicą jest a.

zombi: Mogę wrzucić rozwiązanie jeśli chcecie.

zombi: Cytuję "a_n+1 = (a_n−a)² + a_n ≥ a_n, wobec tego ciąg jest rosnący. Łatwo widać, że gdyby ciąg był zbieżny to jego granicą byłaby liczba a. Stąd, jeśli a₁ > a, to ciąg jest rozbieżny. Jeśli natomiast a−1 ≤ a₁ ≤ a to również a−1 ≤ a_n ≤ a, dla n>1. Zatem dla takich a₁ ciąg jest zbieżny. Gdy a₁ < a−1, wówczas mamy a₂ > a. Ciąg jest więc rozbieżny"

zombi: WueR treść jest taka jak podałem.