uyfuyf zombi: Ciąg określony rekurencyjnie a₁ = 0 a_n+1 = √6 + a_n Pokaż, że jest zbieżny, znajdź granicę. Na początku pokaże, że jest ograniczony z góry przez liczbę 3. Indukcja: Zał. a_n ≤ 3 Teza. a_n+1 ≤ 3 a_n+1 = √6 + a_n ≤ √6 + 3 = 3 ⇔ a_n+1 ≤ 3, wobec tego ciąg jest ograniczony z góry przez liczbę 3. Teraz pokażemy, że jest rosnący. Indukcja: Zał. a_n ≥ a_n+1 Teza. a_n+1 ≥ a_n a_n+1 = √6 + a_n ≥ √6 + a_n−1 = a_n. Zatem ciąg jest rosnący (z tego wynika również ograniczenie dolne tj. a_n≥0) Wobec tego a_n→g=const, czyli a_n+1 = √6 + a_n ⇔ g = √6+g ⇔ g=3 lub g=−2 ⇔ g=3

WueR: W zalozeniu indukcyjnym w dowodzie monotonicznosci chyba jest cos nie tak. Poza tym pamietaj o pierwszym kroku indukcyjnym, bo ma on istotne znaczenie. W ostatniej linicje rownowaznosc to na pewno spora przesada. Tam powinna byc implikacja pod warunkiem powolania sie na pewne fakty otrzymane we wczesniejszym rozumowaniu (i takich faktow pomijac nie wolno).

zombi: Miało być a_n ≥ a_n−1*