odległość zbioru od punktu XXX: Powiedzcie mi proszę jak się liczy odległość zbioru od punktu? Obstawiam, że trzeba ruszyć to jakoś od strony ekstremum, ale nie mam pojęcia jak. Mam takie zadanko ale nie wiem jak do niego podejść: Znaleźć najmniejszą odległość punktów zbioru A = { (x,y) ∊ R² : x² + 2y² − 3xy + 1 = 0 } od osi OX.

XXX: up

PW: Odległość punktu P = (x₀, y₀) od osi OX jest równa |y₀|. Najbliżej osi OX jest ten punkt zbioru A, który ma najmniejszą drugą współrzędną (co do wartości bezwzględnej). x² + 2y² − 3xy + 1 − 0, a więc współrzędne punktów zbioru A spełniają równanie

	1
(1) (x−1,5y)2 =		(y−2)(y+2).
	4

Iloczyn po prawej stronie musi być nieujemny, aby równanie (1) miało sens. Wobec tego najmniejszymi co do wartości bezwzględnej igrekami jakie mogą występować w równaniu są ....

XXX: y=2 ?

PW: Tak, dla y≥2 lub dla y≤−2 prawa strona jest nieujemna, równanie ma sens (znajdzie się odpowiedni x). Dla y∊(−2,2) równanie (1) nie ma sensu. Najmniejszymi co do wartości bezwzględnej igrekami, dla których P=(x,y)∊A są y=−2 oraz y=2. Odległość A od osi OX jest równa 2. Tymi najbliższymi osi OX punktami są (3,2) oraz (−3, −2) (ale o to nie pytali).

XXX: dzięki, możesz jeszcze przybliżyć jak powstało równanie (1) ?

PW: To już sprawa doświadczenia − starałem się "zwinąć" niewygodny składnik −3xy z innym (wziąłem x²) i w ten sposób powstało x² − 3xy = (x−1,5y)² − 2,25y², a więc równanie zbioru A przyjęło postać (x−1,5y)² − 2,25y² + 2y² + 1 = 0 (x−1,5y)² = 0,25y² −1. Robiliśmy to w celu doprowadzenia lewej strony do wyrażenia nieujemnego, dzięki czemu mogliśmy powiedzieć "no to i prawa strona musi być nieujemna".

	1
(x−1,5y)2 =		y2 − 1
	4

	1
(x−1,5y)2 =		(y2 − 4)
	4

	1
(1) (x−1,5y)2 =		(y−2)(y+2).
	4

Tak się udało, że prawa strona zależy tylko od y. To pozwoliło stwierdzić, że y muszą spełniać nierówność (y−2)(y+2) ≥ 0, a o to nam szło − nierówność ta określa jaka jest najmniejsza możliwa y, dla której równanie (1) ma sens, czyli para (x,y) należy do A. Należy zdawać sobie sprawę, że ta metoda zadziałała tylko dzięki temu, że drugi ze zbiorów był osią OX, a więc odległość od tego zbioru mierzyło się "po igrekach", wzór na odległość punktu od zbioru był najprostszy z możliwych − odległość punktu (x,y) od osi OX to |y|.