baza
zadanie: W przestrzeni wielomianow R
5[x] dany jest podzbior W zlozony ze wszystkich wielomianow f
takich, ze
f(1)=0
f'(−1)=f'(0)
f'(−1)=0
f''(0)=0
Uzasadnij, ze W jest podprzestrzenia liniowa.
Znajdz baze tej podprzestrzeni i podaj uzasadnienie, ze to jest baza.
f(x)=ax
5+bx
4+cx
3+dx
2+ex+f
f'(x)=5ax
4+4bx
3+3cx
2+2dx+e
f''(x)=20ax
3+12bx
2+6cx+2d
f(1)=a+b+c+d+e+f; a+b+c+d+e+f=0
f'(−1)=5a−4b+3c−2d+e; 5a−4b+3c−2d+e=e oraz 5a−4b+3c−2d+e=0
f'(0)=e;
f''(0)=2d; 2d=0→d=0
czyli d=e=0
stad
a+b+c+f=0
5a−4b+3c=0
f=−a−b−c
| | 4 | | 3 | | 9 | | 2 | |
f(x)=( |
| b− |
| c)x5+bx4+cx3− |
| b− |
| c |
| | 5 | | 5 | | 5 | | 5 | |
czyli
| | 4 | | 3 | | 9 | | 2 | |
W={f ∊R5[x]: f(x)=( |
| b− |
| c)x5+bx4+cx3− |
| b− |
| c; b, c ∊R} |
| | 5 | | 5 | | 5 | | 5 | |
dobrze?
i teraz czy W jest podprzestrzenia liniowa?
niech f, g ∊ R
5[x] i s, p, t ∊ R
| | 4 | | 3 | | 9 | | 2 | |
(f+g)(x)=f(x)+g(x)=( |
| b− |
| c)x5+bx4+cx3− |
| b− |
| c+ |
| | 5 | | 5 | | 5 | | 5 | |
| | 4 | | 3 | | 9 | | 2 | |
( |
| p− |
| s)x5+px4+sx3− |
| p− |
| s=x5(....)+x4(...)+x3(...)+(....) ∊ W |
| | 5 | | 5 | | 5 | | 5 | |
| | 4 | | 3 | | 9 | | 2 | |
f(tx)=tf(x)=t(( |
| b− |
| c)x5+bx4+cx3− |
| b− |
| c) i tutaj nie wiem? |
| | 5 | | 5 | | 5 | | 5 | |
czy to jest w ogole dobrze?
a moze W nie jest podprzestrzenia liniowa?