Wykaz ze 5-latek: Wykaz ze dla dowolnych a i b ∊R sa spelnione nierownosci a) a²+b²>=2ab z ta sobie poradze

	|a+b|		a2+b2
b)		<=√
	2		2

Tutaj widze ze mam srednia arytmetyczna <= od sredniej kwadratowej ale nie moge przeciez odrazu tak napisac No chyba ze moge? Jednak chcialbym to udowowdnic bez srednich Wiem ze jest taka wlasnosc wartosci bezwzglednej |a+b|<=|a|+|b|

|a+b|		a2+b2
	<=√		wtw
2		2

|a|+|b|		a2+b2
	<=√		wtw
2		2

Tutaj teraz komentarz |a| i |b| jest zawsze dodatnia wiec mozemy zapisac

a+b		a2+b2
	<=√		wtw
2		2

Czy mozna bylo od razu napisac ze |a+b| jest zawsze dodatnia wobec tego |a+b|=a+b? Mozemy teraz obie strony nierownosci podniesc do potegi drugiej

	a+b		a2+b2
(		)2<=		wtw
	2		2

a2+2ab+b2		a2+b2
	<=		/*(4)
4		2

a²+2ab+b²<=2a²+2b² wtw a²−2a²+2ab+b²−2b²<=0 wtw −a²+2ab−b²<=0 /*(−) a²−2ab+b²>=0 wtw (a−b)²>=0 j.b.p. Uzasadnienie : Wykonujac ciag rownowaznych przeksztalcen doszsedlem do nierownosci prawdziwej co oznacza ze nierownosc wyjsciowa takze jest prawdziwa

Lukas: Ale nie wiesz czy wyrażenie |a+b| będzie dodatnie ? Moim zdaniem na dwa przypadki

a+b		a2+b2
	≤√
2		2

b−a		a2+b2
	≤√
2		2

Eta: |a+b|= √(a+b)²

√(a+b)2		a2+b2
	≤√		/2
2		2

................... dokończ

Lukas: Albo jeszcze inny pomysł:

|a+b|		a2+b2
	≤√
2		2

√(a+b)2		a2+b2
	≤√		/ 2
2		2

√(a+b)²=√a²+b² /² |a+b|=a²+b² /² a²+2ab+b²=a⁴+2a²b²+b⁴ (a+b)²−(a²+b²)²≤0 Jak gadam głupoty to niech ktoś to usunie i tyle.

jakubs: Lukas po prawej stronie 2 jest pod pierwiastkiem, wiec najpierw podnieść do kwadratu

Eta:

Lukas: Podniosłem przecież ?

pigor: ... , może wystarczy np. tak : ponieważ |a+b| ≤ |a|+|b| i średnia ar. ≤ średnia kw.,

	|a+b|		|a|+|b|		|a|2+|b|2		a2+b2
więc		≤		≤ √		= √		. .
	2		2		2		2

zombi: 5−latek teraz udowodnij te nierówność w wykorzystaniem nierówności między średnimi. Podpowiedź: nierówność miedzy śr kwadrat >= śr aryt

zombi: ehh pigor popsuł

jakubs: Masz taką sytuacje:

√a		√b
	≤
2		√2

A Ty mnożysz przez dwa i otrzymujesz √a≤√b

5-latek: Alez oczywiscie ze tak bo przeciez |x|=√x² Dopiero stawiam w tym 1 kroki wiec jeszcze nie zauwazam tak oczywistych rzeczy . Jeszcze raz dziekuje

Lukas: dobra nie zauważyłem..