zabawa zworami skróconego mnożenia Marek: rozłóż na czynniki a⁸+b⁸ Wszystkie sumy nieparzystych potęg jest łatwo rozłożyć. A co z parzystymi? a⁴+b⁴ = (a²+b²−√2ab)(a²+b²+√2ab) ...to standard a⁶+b⁶ = (a²+ab²)(a⁴−a²b²+b⁴) i w ten sposób będą działać wszystkie parzyste potęgi różne od n=2^k. Można wyłączyć przed nawias a²+b², później a⁴+b⁴, itp .np. a¹⁰ + b¹⁰ = (a²+b²) (a⁸−a⁶ b²+a⁴ b⁴−a² b⁶+b⁸) ....(ewentualnie powstaje pytanie jak bardziej rozłożyć drugi nawias, żeby mieć max drugie potęgi) Natomiast przy n=2^k to nie działa Gdyby polecieć wzorami skróconego mnożenia, to wychodzi: a⁸+b⁸ = (a⁴+b⁴−√2a²b²)(a⁴+b⁴+√2a²b²) Pozbywając sie na siłę wyższych potęg w nawiasach wychodzi ładne poparaństwo a⁸+b⁸ = (a²+b² ♥√2♥√2ab) (...) (...) (...) gdzie ♥ zastępuje wszystkie możliwe kombinacje plusów i minusów w nawiasach. Prawdopodobnie przy kolejnych potęgach 16, 32, 64,... działałoby to na podobnej zasadzie. Nawiasów i serduszek byłoby po 2⁽k−1) Ale to tak na siłę. Da się jakoś inaczej? Wolfram alpha rozkłada wszystkie takie sumy aⁿ+bⁿ, poza n=2^k, k∊N. W tych przypadkach podaje tylko zespolone pierwiastki.

Hugo: 1pomysł a⁸ + b⁸ = (2a⁸ − a⁸) + (2b⁸ − b⁸)======> (a+b)(a−b) = a² − b² 2pomysł a⁸ + b⁸ = (a⁴ + b⁴ )² − 2a⁴b⁴ nie jestem ekspertem ja ci proponuje w googla wpisać przykładowe zadania i moze Cię tu do tej strony do jakiejs odprowadzi i zobaczysz na przykladzie

Marek: ale to zadanie sam sobie wymyśliłem

Marek: 1 pomysł zupełnie chybiony, bo nie dostaniemy różnicy kwadratów. 2 pomysł rozpisałem do końca i to jest ten na siłę.

Hugo: zrób sb przyklad extra i wyznacz pochodną

wmboczek: to może iloczyn 4 nawiasów postaci (a²+xab+b²) i rozpisać układ równań na współczynniki x,y,z,s ? lużny strzał bo nie chce mi się rozpisywać czy coś z tego wyjdzie

Marek: luźny strzał już został wyliczony na początku x,y,z,s = +/−√2+/−√2 +/− tam zastąpiłem serduszkiem

zombi: (a⁴+b⁴)² − 2a⁴b⁴ = [a⁴+b⁴−√2a²b²] [a⁴+b⁴+√2a²b²] = [(a²+b²)²−2a²b²−√2a²b²] [(a²+b²)²−2a²b²+√2a²b²] itd itd to jest jedyny możliwy bez zespolonych

Marek: ± fajnie dopiero teraz odkryłem, że ten znak tu jest Wydaje mi sie teraz, że nie ma prostszego sposobu na rozkład. Analogicznie a¹6+b¹6 = ( a² + b² ±√2±√2±√2ab) .... i jeszcze 7 takich nawiasów każdy z inna kombinacja + i −. czyli w przypadku rozkładu aⁿ+bⁿ, gdzie n jest potęga 2 (n=2^k, k∊N), zawsze zostaniemy rozkład w postaci 2^k−1 nawiasów, gdzie w każdym będzie (a²+b² ±p{2±√2±...±√2ab) (oczywiście tam są pierwiastki pod pierwiastkami pod pierwiastkami...) gdzie tych pierwiastków,dwójek i ± będzie k−1.

Marek: zombi oba te duże nawiasy jeszcze można dalej rozłożyć W moim poprzednim poście w 4 linijce oczywiście chodziło mi o a¹⁶+b¹⁶

AS: aⁿ − bⁿ dzieli się przez (a − b) przy każdym n aⁿ + bⁿ nie dzieli się przez (a − b) przy każdym n aⁿ + bⁿ dzieli się przez (a + b) przy n nieparzystym aⁿ − bⁿ dzieli się przez (a − b) przy n parzystym