Granice, różniczkowalność - teoria
student:
pyt 1. Pokaż, że jeśli funkcja f jest okresowa i ma granicę w +∞, to jest stała.
pyt 2. Pokaż, że jeśli funkcja f jest antysymetryczna i ciągła w 0 to f(0) = 0.
pyt 3. Pokaż, że jeśli funkcja f jest różniczkowalna w x0 ∊ R, to jest też ciągła w x0.
Z góry dzięki za pomoc.
25 sie 00:29
MQ: Ad 1:
Np. dowód niewprost:
Zakładamy, że istnieją takie x+a i xb, że f(xa)=a i f(xb)=b oraz a≠b.
Wybieramy dwa podciągi:
an=xa+nT
bn=xb+nT
gdzie T to okres funkcji
dla każdego n, f(an)=a oraz f(bn)=b
ich granice w +∞ są różne, a to jest sprzeczne z założeniem, że funkcja ma granicę w +∞.
25 sie 09:16
MQ: Ad 2:
Też można dowodem niewprost, np. tak:
Zakładamy, że f(0)=a>0
więc z def. ciągłości dla dowolnego ciągu liczb → 0 wartości funkcji na tych liczbach będą → a.
Wybieramy teraz dwa ciągi, np:
Z definicji ciągłości można znaleźć takie N, że dla wszystkich n>N |f(a
n)−a|<a i |f(b
n)−a|<a,
czyli;
dla n>N f(a
n)>0 i f(b
n)>0, a ponieważ b
n=−a
n, to:
dla n>N f(a
n)>0 i f(−a
n)>0
a to jest sprzeczne z własnością antysymetrii funkcji, bo f(−a
n)=−f(a
n).
Podobne rozumowanie można przeprowadzić dla a<0 −− dostaniemy |f(a
n)−a|<−a i |f(b
n)−a|<−a, a
potem f(a
n)<0 i f(b
n)<0
25 sie 09:41
MQ: Ad 3:
To można pokazać bezpośrednio z definicji pochodnej jako granicy ilorazu różnicowego:
| | f(x0)−f(x0+h) | |
f'(x0)=limh→0 |
| =a |
| | h | |
Najpierw pokazujemy, że:
lim
h→0(f(x
0)−f(x
0+h))=0
a potem:
lim
h→0f(x
0+h)=f(x
0)
25 sie 09:47