Wykaz ze 5-latek: Witam Mam takie zadanko z tego tematu Wykaz ze jezeli a²+b²+c²=ab+ac+bc to a=b=c Z tego co ustalilem a²+b²+c²=(a+b+c)²−2ab−2ac−2bc ale dalej nie wiem Wiec prosze o naprowadzenie

Hajtowy: a²+b²+c²=ab+ac+bc || *2 2a²+2b²+2c²=2ab+2ac+2bc No i teraz chyba zwinąć w wzór skróconego mnożenia ... Taki jest mój pomysł

Hajtowy: 2a²+2b²+2c²−2ab−2ac−2bc=0 (a²−2ab−b)² + (b²−2bc+c²) + (a²−2ac+c²) = 0 hmm.... A teraz to nwm xD

Hajtowy: Nie odzywam się bo coś pochrzaniłem Profesory odzywać się

5-latek: Czesc Wiesz ze po Twojej podpowiedzi chcialem tak samo kombinowac

Hajtowy: Witaj witaj Chciałem pomóc ale się pogubiłem... pomysł na początku miałem a później wszystko diabli wzięli

Piotr 10: Ja bym od końca to robił . Ale nie wiem czy ktoś nie przyczepi się do mojego rozwiązania, gdyż jest słowo jeżeli a to implikacja. A implikacja w dwie strony nie działa

Hajtowy: Piotrze zaprezentuj Chętnie popatrzę na Twoje kombinacje

Piotr 10: Dobra mam: 2ab + 2ac + 2bc − 2ab − 2ac − 2bc = 0 Wychodzę oczywiści z prawdziwości równania 2(ab+ac+bc) − 2ab − 2ac − 2 bc = 0 2( a²+b²+c²) − 2ab − 2ac − 2bc = 0 a² − 2ab+b² +a² − 2ac+c² + b² − 2bc + c² = 0 (a−b)² + (a − c)² + (b−c)²=0 a − b =0 i a−c=0 i b−c=0 Z tego wynika, że a=b=c c.n.w.

Piotr 10: Zrobiłem jednak innym sposobem niż myślałem na początku

5-latek: czyli tam po porawce (a²−2ab+b²) +(b²−2bc+c²)+(a²−2ac+c²)=0 wtw(a−b)²+(b−c)²+(a−c)²=0 wtw a−b=0 i b−c=0 i a−c=0 wtw a=b i b=c i a=c wtw a=b=c ale nie wiem czy to dobrze

Piotr 10:

5-latek: czyli zrobilismy Piotr tak samo Zobaczymy co inni na to powiedza

Piotr 10: Jest na pewno dobrze. Bo jeśli byś wychodził od tezy, to by było źle ( implikacja w dwie strony nie działa)

5-latek: Dzieki Wam za pomoc

Piotr 10:

PW: Dowód może polegać na rozpatrzeniu nierówności (0) f(x) = (ax−b)² + (bx−c)² + (cx−a)² ≥ 0. Nierówność ta jest prawdziwa dla wszystkich x. (1) a²x² − 2abx + b²x² + b² − 2bcx + c² + c²x² − 2acx +a² ≥ 0 (2) (a² + b² + c²)x² − 2 (ab+bc+ac)x + (b²+c²+a²) ≥ 0 Ta nierówność kwadratowa jest prawdziwa dla wszystkich x∊R, a więc Δ ≤ 0, to znaczy 4(ab+bc+ac)² − 4(a²+b²+c²)(a²+b²+c²) ≤ 0, czyli (ab+bc+ac)² ≤ (a²+b²+c²)² zatem (niezależnie od znaku sumy ab+bc+ac) prawdziwa jest nierówność (3) ab+bc+ac ≤ a²+b²+c². Jeżeli w (3) ma miejsce równość (co założono w treści zadania), to znaczy że Δ = 0 i równanie f(x) = 0 ma rozwiązanie, jest nim oczywiście liczba x=1. Oznacza to, że (0) przyjmuje postać zdania prawdziwego (4) (a•1 − b)² +(b•1 − c)² + (c•1 − a)² = 0, co oznacza że każdy ze składników (4) jest zerem, czyli a = b i b = c i c = a, co kończy dowód. Ale nie słuchaj mnie, bo mam tendencję do gmatwania prostych rzeczy. Po prostu chciałem pokazać dowód (3) − nierówności Cauchy'ego−Buniakowskiego−Schwarza dla trzech składników. Dla rozwiązania zadania na poziomie szkolnym wystarczy wyjść od równości (4) − prawdziwej tylko dla a=b=c − i pokazać, że jest ona równoważna tezie zadania.

Mila: Hajtowy dobrze zaczął. a²+b²+c²=ab+ac+bc / *2 2a²+2b²+2c²=2ab+2ac+2bc⇔ 2a²+2b²+2c²−2ab−2ac−2bc=0⇔ a²−2ab+b²+a²−2ac+c²+b²−2bc+c²=0⇔⇔ (a−b)²+(a−c)²+(b−c)²=0⇔ a−b=0 i a−c=0 i b−c=0⇔a=b=c

PW: O, widzę że niepotrzebnie się trudziłem − kiedy pisałem swoje (zajęło to trochę czasu) Piotr już pokazał jak to rozwiązać.

5-latek: Dobry wieczorMilu i PW

Mila:

Metis: PW nie żałuj Wasze komentarze są naprawdę cenne

Godzio: Popieram Metisa bardzo ciekawy dowód!