nierowność jagódka: uzasadnij ze dla dowolnej liczby rzeczywistej x>0 prawdziwa jest nierownosc

	1		π
arctg		+ arctgx=
	x		2

kompletnie nie wiem jak się za to zabrac wiec prosze o pomoc

WueR:

	1
Przyjac δ(x) = arctg		+ arctgx i zbadac monotonicznosc.
	x

jagódka: tzn? nie bardzo rozumiem

WueR: Pokazujemy, ze wskazana przeze mnie funkcja jest stala i wyznaczamy jej wartosc dla dowolnego punktu z dziedziny. Z jej monotonicznosci bedzie wynikalo, ze funkcja ta przyjmuje tylko te jedna wartosc na przedziale (0,+∞), co dowodzi prawdziwosci tejze rownosci.

PW: To mądre i skuteczne, ale myślę że wystarczy też zastosować definicję funkcji arctg arctgx = α ⇔ tgα = x ( dziedzina!)

	1		1
arctg		= β ⇔ tgβ =
	x		x

No i widać: tgα i tgβ są liczbami odwrotnymi,

	1
tgβ =
	tgα

tgβ = ctgα No to jakie jest rozwiązanie tego równania (uwzględnić ograniczenia wynikające z dziedziny i zbioru wartości funkcji arctg).

PW: Może lepiej zamiast "rozwiązanie równania" zadać sobie pytanie "jaki jest związek między α i β, skoro tgβ = ctgα.

Mila: x>0

	1		π
arctg(		)=α i 0<α<
	x		2

	π
arctg(x)=β i 0<β<
	2

	π
α+β=		?
	2

	1		1		1
1) tg(arctg(		))=tgα⇔		=tg(α)⇔x=		⇔
	x		x		tg(α)

x=ctgα ===== 2)tg(arctgx)=tg(β)⇔ x=tg(β) ==== z(1) (2) ⇒

	π
tgβ=ctg(α)=tg(		−α)⇔
	2

	π
β=		−α⇔
	2

	π
α+β=		⇔
	2

	1		π
arctg(		)+arctg(x)=
	x		2

jagódka: zaraz to przeanalizuje, mam nadzieje ze cos z tego zrozumiem

zombi:

	x+y
arctgx+arctgy = arctg		moze z tego pojdzie
	1−xy

PW: No nie, w mianowniku po prawej będzie 0.

zombi: Tak tylko rzuciłem luźna sugestia, nie sprawdzałem.