maksimum i minimum globalne jagódka:

	1
Znajdź najmiejsza i najwiekszą wartośc funkcji: f: [		, e]→R
	e

f(x)=x²lnx Zaczełam tak: f '(x)=2xlnx+x i f '(x)=0 ⇔ 2xlnx+x = 0 i nie wiem jak to dalej zrobic. Wiem ze powinny mi wyjsc pkt w ktorych na funkcja sie zeruje + obliczyc wartosci funkcji na krancach dziedziny i wybrac najwieksze i najmniejsza wartosc. Pomożecie

PW: Cytat: f '(x)=0 ⇔ 2xlnx+x = 0 i nie wiem jak to dalej zrobic. − A wyłączyć x przed nawias.

jagódka: więc x(xlnx+1)=0 czyli x=0 i xlnx=−1 a dalej?

Janek191: Źle wyłączone

Janek191: Źle wyłączone

jagódka:

kotek: x(2lnx+1)=0

jagódka: aaa x(2lnx+1)=0 sorki

jagódka: a dalej

kotek:

	1		√e
x=0 v x= e−1/2 =		=
	√e		e

Janek191: f '(x) = 2 x ln x + x = x*( 2 ln x + 1) = 0 ⇔ [ x = 0 lub 2 ln x = − 1 ] ⇔

	1
⇔ [ x = 0 lub ln x = −		] ⇔ [ x = 0 lub x = e− 0,5 ]
	2

jagódka: czyli x=e^−1/2

jagódka: czyli teraz licze f(0), f(e^−1/2), f(1/e) oraz f(e) i wybieram z tego maks i min wartosci tak

Janek191: Sprawdź , czy w x = 0 i x = e^−0,5 funkcja f ma minimum lub maksimum lokalne Oblicz f'' (x)

jagódka: juz nic nie rozumiem prosze niech ktos pomoze rozwiazac

Janek191: Jeżeli funkcja f ma w pewnym otoczeniu punktu x₀ pochodną f ' i drugą pochodną f'' ciagłą w x₀ , a ponadto f '(x₀) = 0 i f '' ( x₀) ≠ 0, to funkcja f ma w punkcie x_o maksimum, gdy f '' ( x₀) < 0 minimum lokalne, gdy f '' ( x₀ ) > 0

jagódka: ale ja mam obliczyc najwieksza i najmniejsza wartosc funkcji a nie maksimum i minimum lokalne

Janek191:

	1
Punkt x = 0 odpada, bo 0 ∉ <		; e >
	e

PW: Zacytuję: + obliczyc wartosci funkcji na krancach dziedziny i wybrac najwieksze i najmniejsza wartosc.

	1
Ogranicz się do tych ekstremów lokalnych, które leżą w zadanym przedziale [		, e].
	e

jagódka: gubie sie w tych wszystkich ln i e moze ktos pomoc z rozwiazaniem tak abym wiedziala co z czego sie bierze

Janek191: f '' ( x) = 2 ln x + 2 x*U{1]{x} + 1 = 2 ln x + 3 f '( e^−0,5) = 2 ln ( e^−0,5) + 3 = 2 *(−0,5) ln e + 3 = − 1 + 3 = 2 > 0 Funkcja f ma w punkcie x = e^−0,5 minimum lokalne równe f ( e^{− 0,5})

	1
Teraz oblicz f(		) i f( e)
	e

Najmniejsza z tych 3 liczb, to y_min Największa z tych 3 liczb, to y_max

Janek191:

1
	≈ 0,3678 e ≈ 2,7182
e

	1
e−0,5 ≈ 0,6065 ∊ <		; e >
	e

PW: Zaczynamy od najprostszej rzeczy − policzenia wartości funkcji na krańcach zadanego przedziału:

	1		1		1		1		1
f(		) = (		)2ln(		) =		(−1) = −
	e		e		e		e2		e2

f(e) = e²lne = e²•1 = e². Przy naiwnym podejściu można by przypuszczać, że skoro w lewym krańcu przedziału funkcja f ma

	1
ujemną wartość −		, a w prawym krańcu wartość dodatnią e2, to ta wartość e2 jest
	e2

największą wartością funkcji w zadanym przedziale. Ale my naiwni nie jesteśmy, funkcja może wewnątrz przedziału "zaszaleć" i polecieć wyżej niż e², a potem sobie zniżyć loty. Warto narysować abstrakcyjny przykład. Dlateggo szukamy − obliczjąc pochodną − czy w przedziale funkcja f nie ma przypadkiem lokalnego maksimum. Jeżeli ma, to liczymy jego wartość i porównujemy z e².

Janek191: W zapisie z 18.01 w II wierszu jest pomyłka − powinno być f '' ( e^−0,5) = ....

Janek191:

	0,5
f( e−0,5) = ( e−0,5)2 ln e−0,5 = e−1 * ( −0,5) ln e = −		≈ − 0,1839
	e

	1
−		≈ − 0,1353 > − 0,1839
	e2

zatem

	0,5
ymin = −
	e

y_max = e²

Janek191:

	0,5
f( e−0,5) = ( e−0,5)2 ln e−0,5 = e−1 * ( −0,5) ln e = −		≈ − 0,1839
	e

	1
−		≈ − 0,1353 > − 0,1839
	e2

zatem

	0,5
ymin = −
	e

y_max = e²

Janek191: Co się stało z Jagódką − poszła na jagódki ? ln e = log_e e = 1 , bo e¹ = e

PW: Ale jakże nas zainspirowała twórczo

Janek191: Zrobiliśmy za nią zadanie − tylko trochę chaotycznie

jagódka: dziękuje wam bardzo, mam nadzieje ze jakos to ogarne

jagódka:

	0,5
zyje tu jeszcze Janek191 mam pytanko skad wzielo sie ymin= −
	e

jagódka: prosze help bo sie pogubiłam

jagódka: czemu wkoncu liczymy f(e^−1/2) skoro liczylismy f''(e^−1/2) czemu minimum nie jest f(1/e) tylko f(e^−1/2) nie kumam

jagódka: heeeelp!

Janek191: f '( e^−0,5) = 0 i f'' ( e^−0,5) = 2 > 0 , więc funkcja f osiąga minimum lokalne dla x = e^−0,5

	0,5
Liczymy wartość tego minimum, czyli ymin = f( e −0,5) = −		≈ − 0,1839
	e

Ponadto mamy wyliczone

	1		1
f(		) = −		≈ − 0,1353 > − 0,1839
	e		e2

f( e) = e² ≈ 7,3886

	1
więc minimum lokalne jest mniejsze od f(		) i dlatego jest najmniejszą
	e

wartością funkcji f w podanym przedziale y_max = f( e) = e² − największa wartość f

jagódka: Dziękuje wam bardzo za pomoc