ciągłość funkcji jagódka: problem z udowodnieniem ciągłości. Zadanie: zbadaj ciągłość funkcji f:R→R f(x)=[x]sin(πx) Więc wiem ze [x] nie jest ciagla w R. dlatego rozpatruje 2 przypadki: 1) gdy x₀ ∊ Z 2) x₀ ∊ R\Z w 2 wiem ze funkcja f(x) jest ciagla jako iloczyn dwóch funkcji ciągłych. natomiast w 1) mam problem. nalezy tu policzyc granice lewostronna i prawostronna w pkt x₀ tak? Pomoze ktos jak to zrobic

jagódka: bardzo prosze o pomoc, chodzi mi tylko o to aby ktos pomogl mi w policzeniu: 1) lim [x]sin(πx)= x→(x₀)⁻ 2) lim [x]sin(πx)= x→(x₀)⁺

jagódka: prosze o pomoc!

PW: sin(πx) → sinkπ = 0 dla x→k∊Z

Mila: [k]=k dla k∊Z f(k)=k*sin(kπ)=k*0=0 lim {x→k}([x]*sin(kπ))=0 f(x) ciągła w R

jagódka: nie rozumiem moze ktos wytlumaczyc?

jikk: znalazłem rozwiązanie

jagódka: prosze, niech ktos pomoze, to dla mnie wazne.

Mila: Czego nie rozumiesz we wpisie 16:44? Kandydaci na nieciągłośc to liczby całkowite ( ze względu na g(x)=[x]) Wartość funkcji f(x) dla x∊zbioru całkowitych liczb wynosi 0 i granica wynosi 0. Oblicz dla x=2 i zobacz co się dzieje .

jagódka: no własnie tego zapisu nie rozumiem, wiem ze granica bedzie rowna 0 i wartosc funkcji tez ale podobno musze obliczyc lewo i prawo stranna granice w pkt x₀ i nie wiem jak zrobic zapis zeby wyszstko bylo ok

PW: Nieprawda, że lewo− i prawostronną. Weźmy x₀ = 2. f(x₀) = f(2) = [2]sin(π•2) = 2sin2π = 2•0 = 0. Dla wszystkich x∊[2,3) przepis na funkcję f jest taki sam: f(x) = [x]sin(πx) = 2sin(πx). Sama pisałaś, że f jest ciągła jako iloczyn funkcji ciągłych − w tym wypadku funkcji stałej i funkcji sin(πx). W takim razie granica prawostronna w x₀ = 2 jest równa wartości f(2) − po co liczyć granicę? Trzeba tylko policzyć limf(x) x→2⁻ i porównać − czy ta granica jest równa wartości f(2).

Mila: Znasz wykres g(x)=[x]? k∊Z lim_x→k⁺([x]*sin(πx)=k*sin(kπ)=k*0=0 lim_x→k⁻([x]*sin(πx)=(k−1)*sin(kπ)=(k−1)*0=0

jagódka: okej. dziękuje wam bardzo. juz rozumiem