hopihpoih zombi: A,B⊂R niech A+B = {a+b: a∊A, b∊B}. Pokazać, że zbiór A+B jest ograniczony z góry oraz sup(A+B) = sup(A) + sup(B), jeśli zbiory A,B są niepuste i ograniczone z góry. Jak to ładnie, formalnie pokazać?

zombi: Niech M₁ = sup(A), M₂ = sup(B). Dla każdego c∊A+B istnieje takie a i b, że c=a+b. Z drugiej strony mamy, że a+b ≤ M₁+M₂ ⇔ c ≤ M₁ + M₂, wobec tego zbiór A+B jest ograniczony z góry przez M₁ + M₂, czyli sup(A+B) = sup(A) + sup(B) cos takiego moze byc?

Trivial: Może być.

Trivial: Albo nie wiem. Jaka jest definicja supremum − trzeba pewnie z niej skorzystać.

zombi: a w rozwiązaniu książkowym dodali jeszcze coś takiego, pytanie moje po co? "Ustalmy teraz dowolne ε>0 i dobierzmy a₁∊A i b₁∊B takie, że

	ε		ε
sup(A)−		≤ a1 i sup(B)−		≤ b1 ⇔ supA+supB−ε ≤ a1 + b1,
	2		2

ale a₁+b₁∊A+B. Tym samym kończymy dowód"

zombi: Aaa to pewnie dlatego ten epsilon wrzucili, żeby z definicją zgodnie.

Trivial: No właśnie chodzi o to, że Twój dowód wykazuje ograniczenie z góry, ale nie supremum − "czyli sup(A+B) = sup(A) + sup(B)" jest trochę na wiarę.

zombi: Aha kumam bo definicja supremum: Z wiki http://snag.gy/qDzaD.jpg

zombi: Chodzi o tę drugą część. Dobra teraz czaje po co to dodali.