Granica Radek: Jest tu jeszcze ktoś ?

Godzio: Ktoś tak

Eta:

Radek: Pomożecie z granicami ?

Eta: Z jakim państwem?

Mila: Ukrainą.

Radek: Granica ciągu.

Godzio: No wrzucaj te zadania Po to jest to forum.

Radek: Na razie chodzi o pokazanie z definicji.

Radek:

	2n
wykaż, że limn→∞		=2
	n+1

WueR: No to pokaz swoje proby, na czym sie zatrzymales?

Radek:

	2n
|		−2|
	n+1

	2n−2(n+1)
|		|<ε
	n+1

	−2
|		|<ε
	n+1

PW: "Mówiąc słowami" trzeba pokazać, że dla dowolnej ε > 0 prawie wszystkie wyrazy ciągu spełniają nierówność |a_n − g| < ε, u nas: .......... (rozwiąż taką nierówność).

PW: No świetnie, znajdź te n.

Godzio: Po opuszczeniu modułu

	2
		< ε
	n+1

teraz "wylicz" z tego n

Radek:

	2−ε
n=
	ε

Godzio:

	2−ε
No to nasze n0 to [		]+1
	ε

koniec

Godzio: Rozumiesz na czym polega w ogóle pokazywanie tego z definicji?

Radek: No właśnie nie bardzo to rozumie i dlatego pytam.

Godzio:

	2n
limn→∞		= 2
	n + 1

Chcemy pokazać, że granicą tego ciągu jest liczba 2. Odnosimy się do definicji granicy, która mówi, że dla dowolnego ε > 0 (dowolnej małej liczby dodatniej) istnieje takie miejsce n₀, dla którego dla każdego n > n₀ (czyli każdy następny wyraz tzn. a_n0+1, a_n0+2,...) zachodzi: |a_n − 2| < ε, tzn. te wyrazy a_{n0 + 1}, ... będą dowolnie blisko liczby 2. Dowód polega na wskazaniu takiego n₀, że następne n już będą zawierać się w tym pasku epsilonowym. Poprzez wyliczenie tej nierówności dochodzimy do :

	2 − ε
n >		−− czyli dla takich n nierówność jest prawdziwa dla dowolnego ε. Pozostaje nam
	ε

	2 − ε
wskazać to miejsce: n0 = [		] + 1
	ε

Dlaczego [ ] ? Bo to część całkowita, gwarantuje nam, że będzie to liczba naturalna. Dlaczego + 1? Bo może się zdarzyć, że dla n jeszcze nie zachodzi, więc bierzemy następny i już jest ok.

Radek: Dziękuję

Radek: Godzio jesteś jeszcze ?

Radek: Albo ktoś ?

Godzio: Jestem jestem.

Radek: Takie coś Też z definicji pokazać,że lim=3

	3n2+2
limn→∞
	n2+2n+1

	3n2+2
|		−3|<ε
	n2+2n+1

	6n+1
|		|<ε
	n2+2n+1

?

Godzio:

6n + 1
	< ε
n2 + 2n + 1

6n + 1 < εn² + 2εn + ε εn² + n(2ε − 6) + ε − 1 > 0 Δ = (2ε − 6)² − 4ε(ε − 1) = 4ε² − 24ε + 36 − 4ε² + 4ε = 36 − 20ε √Δ = √36 − 20ε

	−2ε + 6 + √36 − 20ε
n1 =
	2ε

	−2ε + 6 − √36 − 20ε
n2 =
	2ε

	−2ε + 6 − √36 − 20ε		−2ε + 6 + √36 − 20ε
n ∊ (−∞,		) U (		, ∞)
	2ε		2ε

	−2ε + 6 + √36 − 20ε
Niech n0 = [		] + 1
	2ε

Blue: Ej ludzie, a takiego zadanka dowodowego ma maturce 2015 raczej nie powinno być, nie? Tzn tylko wylicz granice i tyle, nie i po prostu dzielę przez n i widzę, że licznik dąży do 2 , a mianownik do 1, tak? Sorki, że banalne pytanka zadaje, ale próbuję sobie odświeżyć rachunek różniczkowy hehe

Radek: A ja widziałem takie coś

	6n+1
|		|<ε
	n2+2n+1

6n+1		6n+2n		8
	<		=		<ε
n2+2n+1		n2		n

skąd takie coś ?

Radek: Ja nie uczę się na maturę...

Godzio: Pewnie tak, ale głowy nie dam Trzeba poczytać w wymaganiach maturalnych. A rzeczywiście, to jest znacznie szybsza druga, już dawno takich przykładów nie robiłem i trochę mi się zapomniało. Dlaczego to działa? Bo bierzemy coraz to większe wyrażenie, skoro dla większego działa to i dla mniejszego zadziała

Godzio: W tym wypadku n₀ u Ciebie będzie trochę większe od mojego, u mnie jest nieco bliższe temu pierwszemu

Radek:

	89
Ale czemu akurat wzięli takie a nie np
	4n

Godzio:

6n + 1		89
	<		?
n2 + 2n + 1		4n

Radek: dobrze, ale czemu nie może być n² w mianowniku ?

Godzio: Przecież jest w tym co pisałeś. Sprecyzuj pytanie.

Radek:

	8		8
Czemu tam na końcu jak jest		nie może być np		?
	n		n2

Godzio: Może być o ile zachodzi nierówność

6n + 1		8
	<
n2 + 2n + 1		n2

Godzio: A jak się chwilę popatrzy (albo policzy) to dla skończenie wielu zachodzi, ale dla reszty

	8
(czyli nieskończonej ilości) nie zachodzi, więc nie może być		.
	n2

Radek: ale jeśli za n podstawię 1 to będzie spełnione

6n+1		8
	<
n2+2n+1		n2

Godzio: Ale to ma działać dla wszystkich n, a nie kilku Podstaw sobie n = 100 i już nie działa.

Kacper: Może nie działać dla skończonej ilości początkowych wyrazów, a u ciebie jak wskazał Godzio już od setnego nie działa.

Radek: To jak szybko wpaść na taki przykład żeby działało dla każdego n ?

Godzio: No ograniczasz OCZYWISTYMI nierównościami np.

6n + 1		6n + n		7n		7
	<		=		=
n2 + 2n + 1		n2 + 0 + 0		n2		n

Dlaczego? 1 ≤ n dla każdego n oraz zmniejszyliśmy mianownik czyli zwiększyliśmy wartość całego ułamka

Radek: ok to idę robić dalej tę zadania.

Radek: 3, z definicji lim_n→∞5ⁿ=∞ ?

Godzio: Jak jest definicja granicy niewłaściwej?

Radek: Nie wiem jak to napisać swoimi słowami.

Godzio: Dla każdego M dodatniego istnieje takie miejsce n₀, że dla każdego następnego n wyraz jest większy od M ∀_M>0 ∃_n0∀_{n > n0} a_n > M Czyli znów wskazujemy miejsce, dla którego a_n > M 5ⁿ > M ⇒ n > log₅M ⇒ n₀ = [log₅M] + 1

Radek: Kurcze, dziękuję Godzio. Ale i tak to jeszcze jest trudne.

Godzio: Początki zawsze są trudne, co planujesz studiować, że się przykładasz do takich rzeczy?

Radek: MiBM na PWr W9

Godzio: To aż tak się nie przykładaj do definicyjnych zadań, wiele ich nie będzie Z 3 − 4 przykłady (może jedno na kolokwium) i tyle Raczej suche liczenie granic.

Radek: Ok, ale po prostu chce wiedzieć co liczę A na EKA jest trudniej ?

jerey: @Radek to może spotkamy się na wydziale na akademik uderzasz czy stancja?

Godzio: Oj tego Ci nie powiem, kolega studiuje MIBM i jakoś trudno nie było. Ja lecę do pracy, będę jakoś wieczorem w razie jakbyś potrzebował pomocy

Radek: Na pewno będę potrzebował pomocy, jerey ja mieszkanie mam już

Piotr 10: A tak z ciekawości ile płacicie za pokój we Wrocławiu?.

Radek: Ja mam mieszkanie 3 osobowe, każdy ma swój pokój to 700 zł za wszystko

Piotr 10: Hehe to ja mam tak samo. 3 osoby. I 700 zł za wszystko. Myślałem, że w stolicy to najdrożej jest, ale jednak myliłem się. Dzięki za info

Radek: Są jeszcze o wiele droższe opcje, to chyba jedna z najtańszych.

Radek: To jakie definicje mnie obejmują które muszę znać odnośnie granic. ?

jakubs: Definicję granicy i twierdzenia dotyczące działań na granicach np. twierdzenia o arytmetyce granic, no i znane twierdzenie o 3 ciągach i twierdzenie o 2 ciągach.