hphp zombi: Pytanie, bo chyba zdurniałem. Czyli |x−y| ≥ | |x|−|y| | ?

Kacper: Możesz narysować w układzie współrzędnych

zombi: podnoszę do kwadratu, bo mogę x² − 2xy + y² ≥ x² − 2|xy| + y² ⇔ |xy| ≥ xy co jest prawdą, czyli zachodzi jednak tak? ale mętlik mi to zrobiło

Kacper: za dużo matematyki

zombi: Chodziło mi o dowód czegoś takiego Jeśli a_n → a, to |a_n| → |a| jak to pokazać?

Kacper: O 20:38 to myślę o innych rzeczach

WueR: Ustalmy dowolnie ε>0. Skoro a_n → a, to istnieje wskaznik N taki, ze dla n>N mamy: |a_n − a| < ε dla kazdego n∊N. Ale dla x,y∊R mamy: ||x|−|y|| ≤ |x−y|, stad: ||a_n|−|a|| ≤ |a_n−a| < ε, wiec rowniez ||a_n|−|a|| ≤ ε, co dowodzi, ze |a_n| → |a|.

WueR: Errata: ostatnia nierownosc miala byc oczywiscie silna.

zombi: No właśnie o to mi chodziło, tylko nie wiem czemu zawahałem się czy ta nierówność z 20:23 jest prawdziwa.

WueR: No i teraz zauwazylem tez mala kolizje oznaczen. Pierwsze i drugie z kolei N zamienic na cokolwiek innego i bedzie w porzadku.

WueR: To udowodnimy sobie jeszcze tamta nierownosc dla x,y∊R: Z oczywistosci |x+y| ≤ |x| + |y| wynika, ze rowniez |x−y| ≤ |x| + |y| (1). Mamy: (2) x = (x+y) − y Z (1) i (2) otrzymujemy: |x| ≤ |x+y| + |y| ⇔ |x|−|y| ≤ |x+y| (3) Natomiast z (3) podobnie dostajemy: |y|−|x| ≤ |x+y| ⇔ |x|−|y| ≥ −|x+y| (4). (3) oraz (4) daja teze.

zombi: To jeszcze coś takiego:

	1
Jeśli |an| → ∞, to		→ 0
	an

∀ε>0 ∃N∊ℕ ∀n≥N |a_n|>ε ⇔

	1		1
∀ε>0 ∃N∊ℕ ∀n≥N		>
	ε		|an|

⇔

	1
∀ε'>0 ∃N∊ℕ ∀n≥N		< ε'
	|an|

⇔

1
	→ 0. Ponadto
|an|

	1		1		1
−		≤		≤		, zatem z tw. o 3 ciągach
	|an|		an		|an|

1
	→ 0
an

ckd I jak formalnie zgadza się?

WueR:

	1		1
A skad dostales nierownosc		≤		?
	an		|an|

zombi: Jak to skąd ? dla każdego x∊R zachodzi −|x| ≤ x ≤ |x| Dla x≥0 mamy −x ≤ x ≤ x co jest prawdą Dla x≤0 −(−x) = x ≤ x ≤ −x co również jest prawdą

Godzio: A co z tym przejściem:

1		1		1
	>		⇔		< ε ?
ε		|an|		|an|

WueR:

	1
Tam akurat jest e' =		. Tak to wlasnie jest, ze jak sie tego nie podkresli, to ktos moze
	e

nie zauwazyc, o co chodzi.

Godzio: Dał jeszcze indeks górny, a ja myślałem, że to jakieś zabrudzenie na monitorze Zwyczajowo jeżeli ciąg jest nieograniczone to piszemy raczej tak: ∀_M∊ℛ ∃_N∊ℕ ∀_n∊ℕ |a_n| > M ε oznacza raczej małą liczbę niż dowolnie dużą

WueR: zombi i co, zdecydowales sie robic na razie samego Banasia, czy Kaczor, Nowak tez przerabiasz rownolegle?

zombi: Robię i Banasia i Kaczor, tylko tak, że dany dział w Banasiu a później ten dział z Kaczor−Nowak. Banaś po kolei poziomy A,B,C i Kaczor.