dowodzenie helka: udowodnij że jeśli xy=2 to (x+1)(y+2)≥8

sushi_gg6397228: i co zaproponujesz ?

razor: Nierówność będzie prawdziwa tylko dla x,y > 0

Janek191:

	2		2		2
x y = 2 ⇒ y =		⇒ ( x + 1)*( y + 2) = ( x + 1)*(		+ 2) = 4 + 2 x +		=
	x		x		x

	1
= 4 + 2*( x +		) ≥ 4 + 2*2 = 8
	x

ckd , bo x y = 2 ⇒ ( x > 0 i y > 0 ) lub ( x < 0 i y < 0) Niech x > 0 i y > 0 oraz

	1
f(x) = x +
	x

	1
f' (x) = 1 −		= 0 ⇔ x = − 1 lub x = 1
	x2

	2
f'' (x) =
	x3

f'' (1) > 0 − f osiąga minimum lokalne y_min= f( 1) = 2

	1
czyli dla x > 0 jest f(x) = x +		≥ 2
	x

Analogicznie jest dla x < 0 i y < 0.

Janek191: Jednak dla x < 0 i y < 0 nierówność nie jest prawdziwa np. x = − 4 i y = − 0,5

lunatyk: dla x,y>0 x+1≥2√x y+2≥2√2y mnożymy stronami (x+1)(y+2)≥2√x*2√2y=4√2xy=4*√2*2=8 Aby nie męczyć się pochodną

Eta: Można też tak;

	2
x,y>0 , xy=2 ⇒ x=
	y

przekształcamy nierówność równoważnie

	2
(		+1)(y+2) −8≥0 /*y>0
	y

(2+y)(2+y)−8y≥0 y²−4y+4≥0 (y−2)²≥0 −−−− zawsze zachodzi zatem zachodzi nierówność (x+1)(y+2)≥8 dla x,y>0 i xy=2