. asdf: dlaczego f(f⁻¹(x)) = x? przyklad: y = e^x lny = x lnx = y f(x) = e^x ⇔ f⁻¹(x) = ln(x) f(f⁻¹(x)) = e^lnx = e^log_ex = x to jest przyklad, ale jak udowodnic to dla kazdej funkcji roznowartosciowych?

zombi: http://math.stackexchange.com/questions/75365/proof-ff-1x-x Coś takiego znalazłem.

zombi: przy takim oznaczeniu y=f(x), mamy f⁻¹(y) = x wtedy f(f⁻¹(y)) = f(x) = y http://www.naukowiec.org/wiedza/matematyka/funkcja-odwrotna_762.html

asdf: Dziekuje Ci za odpowiedz !, mimo wszystko jest tutaj tylko powiedziane "jest symetryczne wzgledem y = x", bez zadnego dowodu (w obu przypadkach): link 1: "Let x is an arbitrary point from B. As the function f is bijective, it follows that there is a unique point y in A such that f(y)=x. Therefore f(f−1(x))=f(y)=x." link 2: "Wykres funkcji podstawowej i funkcji do niej odwrotnej są do siebie symetryczne względem prostej o równaniu y=x" :(

WueR: Przeciez to z pierwszego linku to dowod tego, ze dla f:A→B mamy: f(f⁻¹(x)) = x.

Trivial: Skoro f, f⁻¹ są bijekcjami to: f(f⁻¹(y)) = f(x) takie że y = f(x) (definicja funkcji odwrotnej) Podstawiając f(x) = y mamy: f(f⁻¹(y)) = y.

Trivial: Można też tak: f : A → B f⁻¹ : B → A Z definicji funkcji odwrotnej złożenie f⁻¹∘f = id_A. Rozważając problem dualny za darmo mamy: f⁻¹ : B → A f : A → B f∘f⁻¹ = id_B

asdf: dzieki! pierwsze rozwiazanie zrozumialem, drugie troche sie 'wacham'