bazy
zadanie: Wskaz baze i okresl wymiar nastepujacej podprzestrzeni wektorowej.
V={ f∊R4[x] : p(2x)=4xp'(x)+p(0)}.
p(x)=ax4+bx3+cx2+dx+e; p'(x)=4ax3+3bx2+2cx+d
p(2x)=16ax4+8bx3+4cx2+2dx+e
p(0)=e
16ax4+8bx3+4cx2+2dx+e=4x(4ax3+3bx2+2cx+d)+e
16ax4+8bx3+4cx2+2dx+e=16ax4+12bx3+8cx2+4dx+e
2bx3+2cx2+dx=0
czyli
b=c=d=0 (te wspolczynniki sa zerami)
wiec postac tego wielomianu to: p(x)=ax4+e; baza:{x4, 1}; dimV=2
dobrze?
15 sie 20:24
WueR:
Dobrze, chociaz na kolokwium chyba nie piszesz tak bez zadnego slowa komentarza?
15 sie 20:32
zadanie: jakis komentarz pisze
dziekuje
15 sie 20:54
zadanie: jeszcze mam takie:
Wskaz baze i okresl wymiar nastepujacej podprzestrzeni wektorowej.
V={f∊R3[x] : f(2x)=xf'(x)}
f(x)=ax3+bx2+cx+d; f'(x)=3ax2+2bx+c
f(2x)=8ax3+4bx2+2cx+d
f(2x)=xf'(x)
8ax3+4bx2+2cx+d=3ax3+2bx2+cx
5ax3+2bx2+cx+d=0
czyli a=b=c=d=0
wiec wszystkie wspolczynniki wystepujace w wielomianie sa zerami)
f(x)=0
czyli jaka bedzie baza?
15 sie 23:22
WueR:
V sklada sie tylko z wektora zerowego...a czy on moze byc baza (patrz definicja bazy)?
16 sie 00:56
zadanie: nie moze byc bo wektor zerowy jest liniowo zalezny
czyli ta przestrzen nie ma bazy i wymiaru
dobrze?
16 sie 08:43
WueR:
16 sie 10:14
zadanie: dziekuje
16 sie 10:40
zadanie: a jeszcze mam takie pytanie:
dlaczego w tym zadaniu nie mozna bylo zrobic tak:
doszlismy do momentu 5ax3+2bx2+cx+d=0 i teraz wyliczylbym d
czyli d=−5ax3−2bx2−cx i potem podstawilbym to do postaci wielomianu czyli
f(x)=ax3+bx2+cx−5ax3−2bx2−cx=−4ax3−bx2=a(−4x3)+b(−x2)
baza {−4x3, −x2}, wymiar dimV=2.
co przy takim rozumowaniu jest niepoprawne?
16 sie 11:02
Kacper: Podaj całą treść zadania, to może i ja coś pomyślę
16 sie 11:05
WueR:
Jezeli 5ax3+2bx2+cx=d = 0 ma byc spelnione dla dowolnego argumentu, to istotnie wspolczynniki
wielomianu po lewej stronie rownosci musza byc rowne odpowiadajacym im wspolczynnikom
wielomianu po drugiej strony.
Co innego, gdyby bylo np: a + b + c − d = 0, wtedy mozna by bylo zrobic, jak tutaj, tzn.
wyznaczyc przykladowo: d = a + b + c.
16 sie 11:13
WueR:
Bo tak to dalej jesli masz: d = −5ax3−2bx2−cx ⇔ −5a = 0, −2b = 0, −c = 0, d = 0.
16 sie 11:14
zadanie: dziekuje
16 sie 11:24
zadanie: a mozna powiedziec, ze ta przestrzen jest zerowymiarowa? bo w bazie nie ma zadnego wektora (w
bazie jest zero wektorow)
16 sie 11:36
zadanie: ?
16 sie 22:12
WueR:
Nie wiem, nie znam pojecia przestrzeni zerowymiarowej.
16 sie 22:28