oblicz granicę ciągu wrrrr: oblicz granicę ciągu: ! PROSZĘ! lim(gdzie n→∞)= 2cosn/n (dzelimy całość przez n) a drugie to mam pytanie czemu jak mam coś takiego n/√n²+n+n to czemu wychodzi 1/2... bo tak górę dzielę przez n a dół to to co pod pierwiastkime przez n² a to co po za to przez n można tak? (robilismy na zajęciach)

Aza:

	n		1
2/ an=		=
	n(√1+1n +1)		√1+1n+1

	1		1
lim an=		=
	√1+0 +1		2

n→∞

supermatma.pl:

	2cosn
Odnośnie przykładu		razu wiać, że granicą jest liczba 0, gdyż licznik jest
	n

ograniczony, a mianownik rośnie niegraniczenie. Zanim zastosujemy twierdzenie o trzech ciągach, szacujemy obustronnie korzystmy z nierówności |cos(x)|≤1. Mamy

	1		1
−		≤U{2cosn}}{n}≤		.
	n		n

	1		1
ciągi an=		i an=−		są zbieżne do 0, zatem na mocy twierdzenia o trzech ciągach
	n		n

	2cosn
ciąg cn =		jest zbieżny do 0.
	n

Więcej przykładów tutaj http://www.freemaths.us/

supermatma.pl: Powinno być

	1		2cosn		1
−		≤		≤
	n		n		n

wrrr: a w 1 przypadku co sie z tą nką dzieje że jej pozniej (na górze i przed pierwiastkiem) nie ma i chyba powinno sięwyłączyć n² żeby póżniej było 1/n

wrrr: przecież jak wyciągnie się n z licznika to będzie n √n+1+1 a nie 1/n

wrrr: przecież jak wyciągnie się n z licznika to będzie n √n+1+1 a nie 1/n

wrrr: przecież jak wyciągnie się n z licznika to będzie n √n+1+1 a nie 1/n

supermatma.pl: Faktycznie, powinniśmy nierówność |cos(x)|≤1 przemnożyć przez 2, czyli korzystamy z nierówności 2|cos(x)|≤2. Zatem będzie

	2		2cosn		2
−		≤		≤		.
	n		n		n

Teraz dzielimy całość przez 2, i otrzymujemy

	1		cosn		1
−		≤		≤		.
	n		n		n

	2cosn
Zatem na mocy twierdzenia o trzech ciągach ciąg cn=		jest zbieżny do 0.
	n

wrrr: chodzi mi o to drugie sorki

wrrr: chodzi mi o to drugie sorki

supermatma.pl: Odpowiadam na to drugie

	n
Koleżanka Aza dobrze policzyła, o ile ciąg wyjściowy ma postać		.
	√n2+n+n

Po wyłączeniu n mamy

n		n		1
	=		=
√n2+n+n		n(√1+1/n+1)		√1+1/n+1

1		1
	→		gdy n→∞
√1+1/n+1		2

wrrr: dokładnie mi opisz to drugie bo jak wyciagnie się przed pierwiastek samo n to napewno nie wyjdzie coś takiego √1+1/n+1 bo podstawą było √n²+n+n wiec

wrrr: ale dlaczego +1 w mianowniku już poza pierwiastkiem i czemu póżniej z n w liczniku robi się jeden i jak wyciągamy samo n to czemu z n² robi się jeden a z n robi się 1/n

supermatma.pl: Po kolei

	n
n z licznika znika, gdyż skracamy ułamek		,
	n(√1+1/n+1)

czyli dzielimy licznik i mianownik przez n, zatem

n		1
	=
n(√1+1/n+1)		√1+1/n+1

Wyłączamy n w następujący sposób

n		n		n		n
	=		=		=
√n2+n+n		√n2(1+1/n)+n		n√1+1/n+n		n(√1+1/n+1)

wrrr: nie przekonuje mnie to.... znaczy przekonuje mnie to jak wyciagamy n² z pierwiastka ale póżniej jak n² staje się n też jakoś rozumię ale czemu póżźniej to już nie wiem czemu tak sie dzieje

wrrr: to rozumiem że n√1+1/n+n ale czemu póżniej n(√1+1/n+1 to tak jak by znow wyciagamy n tylko czemu tylko z tej ostatniej liczby

supermatma.pl: Dodam jeszcze, że √n²=n.

wrrr: chodzi mi o to że jak wyciagamy przed nawaist to n to czemu tylko tak jakby dzielimy ostatnią liczbe przez n ... a czemu nie dzielimy tych co są w pierwiastku

supermatma.pl: Zwyczajnie wyłączasz n, n√1+1/n+n = n(√1+1/n+1)

wrrr: no ale wtedy przy mnożeniu wyszło by √1n+1+n czyż nie tak

wrrr: no ale wtedy przy mnożeniu wyszło by √1n+1+n czyż nie tak

supermatma.pl: Jeszcze dokładniej n√1+1/n+n=n*√1+1/n+1*n=n(√1+1/n+1)

wrrr: no ale nic nie wyłączyliśmy z pierwiastka w takim razie... chyba

supermatma.pl: Z pierwiastka nie potrzeba już nic wyłączać. Niech a,d,g będą liczbami rzeczywistymi, możemy napisać a*d+a*g=a(d+g)

wrrr: dobra już wiem dzięki Ci wielkie

wrrr: po prostu ten pierwiatek traktowałam jako 2 liczby zamiast jako jedna.. zawsze te pierwiastki mnie w błąd wprowadzały..... dziękuję bardzo za cierpliwość