Basia:
na mocy tw.Lagrange'a dla każdych x,y∊R i x<y istnieje c, takie, że x<c<y i
| arctgx−arctgy | | 1 | |
| = |
| |
| x−y | | 1+c2 | |
1.
x>y ⇒ arctgx>arctgy⇒
|arctgx−arctgy|=arctgx−arctgy i |x−y|=x−y
| |arctgx−arctgy| | | arctgx−arctgy | | 1 | |
| = |
| = |
| ≤1 ⇒ |
| |x−y| | | x−y | | 1+c2 | |
|arctgx−arctgy|≤|x−y|
2.
x<y ⇒ arctgx<arctgy ⇒
|arctgx−arctgy|=−(arctgx−arctgy) i |x−y|=−(x−y)
| |arctgx−arctgy| | | −(arctgx−arctgy) | |
| = |
| = |
| |x−y| | | −(x−y) | |
| arctgx−arctgy | | 1 | |
| = |
| ≤1 ⇒ |
| x−y | | 1+c2 | |
|arctgx−arctgy|≤|x−y|
c.b.d.o.
rzeczywiście proste (jak widać nie wszystkie zadania muszą być trudne)