Ciągłość funkcji jakubs: Zbadaj ciągłość funkcji:

	sinx
f(x)=		x≠0 i f(0)=1
	|x|

Pasuję policzyć granicę w punkcie 0(prawostronną i lewostronną), ale nie wiem jak

Ajtek:

	sinx
Dla x>0 f(x)=		, liczysz pochodną licznika i mianownika
	x

	sinx
Dla x<0 f(x)=		i to samo .
	−x

Jeśli się mylę to poprawcie mnie.

Mila: Granicę lewostronną i prawostronną. Jeśli lim_x→0f(x) =f(0) to funkcja jest ciągła.

jakubs: Tyle, że ja pochodnych nie znam, a zadanie jest ze zbiorku Krysickiego również przed pochodnymi, jest jakiś sposób na obliczenie tego bez pochodnych ?

zombi:

	sinx
A znasz granicę		→ 1, gdy x→0?
	x

jakubs: Tak, ale jak wyznaczyć tę granicę, to nie wiem. Na wykładzie od PWr była tylko informacja o tym, ale bez rozwiązania, mam to przyjąć że tak jest. Tutaj jest jeszcze wartość bezwzględna i nie mam żadnego pomysłu jak to obliczyć

zombi: x→0⁻, x "idą" od lewej w stronę zera, więc są ujemne tak? Natomiast x→0⁺, czyli x "idą od prawej strony do zera, więc są dodatnie, prawda? Zielone: x→0⁻ Fioletowe: x→0⁺ Skoro wiesz jakie będą przyjmowały wartości (ujemne/dodatnie) te nasze iksy, wiesz już jak opuszczać moduł z mianownika, czy ze znakiem + czy ze znakiem −

jakubs:

	sinx
limx→0+		czyli to będzie dążyć do 1
	x

	sinx
limx→0−		a to do −1
	−x

Tak ?

Dzidka: Granica w zerze nie istnieje⇔funkcja nie jest ciągła.

jakubs: Dzidka, a możesz zobaczyć na mój wpis z 19:42 ? Czy jest dobrze ?

jakubs: Wydaje mi się, że jest ok, ale wolałbym aby to ktoś potwierdził.

Mila: Dobrze 19:42, masz to pokazane na wykresie.

jakubs: Dziękuję Milu

jakubs: Oblicz granicę lewostronną i prawostronną w punkcie x=0

21/x+3
31/x+2

	0+3		3
limx→0−		=
	0+2		2

	∞+3
limx→0+
	∞+2

Nie wiem, czy mogę się sugerować tym, że 2^1/x<3^1/x

Godzio: Wczoraj miałeś podobny przykład z e^1/x

jakubs: Tak się nad tym zastanawiałem, ale mogę tak podzielić np. przez 3^1/x ?

	2   3   ( )1/x+   3   31/x
limx→0+
	2   1+   31/x

	0+0
limx→0+		=0
	1+0

Godzio: No a niby czemu nie ?

jakubs: Jak widziałem 2 i 3, to tak nie bardzo myślałem, że coś się uda, gdyby były te same to tak jak wczoraj bym podzielił. Dzięki

jakubs: Znowu trygonometria: Oblicz granicę lewostronną i prawostronną w punkcie x=0

	⎧	xsin1x dla −∞<x<0
f(x)	⎩	sin1x dla 0<x<+∞

Pierwszą wyznaczyłem i jest 0, ale tej drugiej już nie wiem jak wyznaczyć

zombi: Druga nie istnieje

Godzio:

	1		1
Wypada to jakoś pokazać. Niech xn =		oraz yn =		.
	nπ		π   + 2nπ 2

Wówczas

	1
limn→∞sin		= 0
	xn

	1
limn→∞sin		= 1
	yn

Granice dla różnych pociągów są różne więc granica nie istnieje.

jakubs: Ostatnie z granic: Oblicz granicę lewostronną i prawostronną w punkcie x=0

	x
f(x)=
	√|sinx|

Godzio: Bez liczenia osobno granic: x = sgn(x) * |x| = sgn(x) * √|x|²

sgn(x) * √|x|		0
	→		= 0
√|sin(x)/x|		1

Więc obie granice są równe 0 Licząc osobno: Lewostronna:

x		−|x|		−√x2
	=		=		= ... dalej jak wyżej.
√−sinx		√−sinx		√−sinx

Podobnie prawostronna tylko, że minusów nie będzie

jakubs: Rozumiem, że zamiast x podstawiłeś sgn(x)√|x|, ale czemu w mianowniku z √|sinx| zrobiło się √|sinx/x| ?

jakubs: ?

Godzio: Z x zrobiłem się co innego, popatrz dokładnie, na dół wsadziłem jednego x, a drugiego zostawiłem u góry

jakubs: Nic z tego nie rozumiem Chyba sobie dam siana z tym przykładem.

Godzio: Zobrazowanie tego co zrobiłem:

x2		x
	=
sinx		sinx   x

jakubs: Mógłbym policzyć granicę kwadratu tego, a później się jakoś do tego odnieść ? Bo z tym sgn(x) nic nie kapuje

Godzio: sgn(x) nam tylko znak zmienia, żeby się zgadzało z początkiem (funkcja signum)

Godzio: No nie wiem, czy lim f(x) = √lim f²(x)? Pewnie w większości przypadków tak, ale czy zawsze?

jakubs:

	−x
limx→0−
	√−sinx

	−x*√−x
limx→0−
	√−x*√−sinx

	−x
limx→0−
	√−x

Coś takiego ?

Godzio:

	x2
Pisałem co tam zrobiłem		i teraz jednego x z góry daje na dół
	sinx

x
sinx / x

jakubs: Jaki ze mnie tempa strzała... Już rozumiem, dziękuję za cierpliwość. Koniec granic od Krysickiego, teraz może wezmę się za pochodne.

jakubs: Jeszcze z błędem napisałem Lepiej już pójdę spać, dobranoc

Godzio: Pochodne będą łatwiejsze, przynajmniej samo liczenie