Dowód
zuza: Mam pytanie co do dwodu tw.Fermata(warunek konieczny istnienia ekstremum lokalnego). Otóż:
Z: f: A−>R(rzeczywiste), ∃δ>0
x
0−δ, x
0+δ)⊂A,f jest różniczkowalna w x
0, f ma ekstremum
lokalne w x
0
T:f'(x
0)=0
DOWÓD:
I przypadek: zakładam ,że f ma maksimum lokalne w x
0
Niech x
n ∊(x
0−δ,x
0)
f'(x
0)=lim
f(xn) − f(x0) ≤O xn − x0 <0
itd
Czy ta pierwsza część (niepełna pierwsza część) jest poprawnie? Pomocy! Potrzebuje ten dowód na
egzamin wrześniowy , więc zalezy mi na jego poprawności
8 sie 13:49
MQ:
Po pierwsze: nie bardzo wiadomo, coś ty tu napisała.
Po drugie: dlaczego xn∊(x0−δ, x0) a nie (x0−δ, x0+δ)?
8 sie 14:00
PW:
f(x) − f(x
0) ≤ 0 dla x∊(x
0−δ, x
0+δ)
(bo f(x
0) jest lokalnym maksimum).
W takim razie ułamek
jest niedodatni dla x∊(x
0,x
0+δ) i nieujemny dla x∊(x
0−δ, x
0).
Z założenia ułamek (1) ma granicę dla x→x
0. Granica ta z jednej strony jest granicą liczb
nieujemnych, a z drugiej strony − granicą liczb niedodatnich, jest więc zerem.
Tak trochę niedbale, ale o to idzie, można mówić od razu o ekstremum − ważne jest, że różnica
f(x
0)−f(x) ma w pewnym otoczeniu x
0 stały znak, a x−x
0 ma znak zależny od położenia x.
Jednakowoż − jeśli przedmiotem egzaminu są dowody − zachęcam do przyswajania ich z
podręczników.
8 sie 15:53