Ogólny sposób na upraszczanie pierwiastka pod pierwiastkiem Marek: Mamy do uproszczenia "Standardowy" pierwiastek pod pierwiastkiem (nie bawiy sie w zespolone...) √x+y√z Zapragnąłem mieć ogólny wzór do podstawienia przy trudniejszych przypadkach W trakcie niestety mnie przerosło... przynajmniej na ta porę Jeśli y√z<x to rozwiązujemy układ równań a²+b²=x

	y√z		y2z
2ab=y√z −> b =		−> b2 =
	2a		4a2

	y2z
a2 +		= x obustronnie razy 4a2
	4a2

4a⁴ − 4xa² +y²z = 0 Δ=16x²− 16y²z = (4√x²−y²z)² czy Δ>0 ? chyba musi być, ale nich che mi się sprawdzać

	4x +− 4√x2−y2z		1
a2 =		=		(x +− √x2−y2z)
	8		2

	1
a = +− pierwiastek z		(x +− √x2−y2z)
	2

	y√z
b =
	2a

b= +− pierwiastek z uch zgubiłem się. Jutro zobaczę . . i tu się poddaję Jeszcze drugi warunek: jeśli y√z>x to rozwiązujemy inny układ: a²+b²=y√z 2ab=x Czy to w ogóle ma sens? jest prawie 3 w nocy, więc może być różnie Po drodze powinno być sporo założeń. Mam nadzieję, że poza tym sie nigdzie nie machnąłem.

PW: Chyba nie ma sensu tworzenie takich wzorów − małe szanse na zapamiętanie.

5-latek: Zbadajmy czy pierwiastek podwojny √3+√8 da sie przedstawic jak suma dwoch pierwiastkow prostych i jakie to beda pierwiastki ? Jesli istnieja takie dwa pierwiastki proste. Niech beda to pierwiastki √x i √y Wiec mamy √3+√8=√x+√y Podnosimy obie strony do kwadratu 3+√8=x+y+2√x*y Rownoc ta bedzie spelniona gdy spelniny bedzie uklad rownosci (popatrz dobrze ) {x+y=3 {2p{x*y=8 Warunek ten jest warunkiem wystarczajacym (a czy koniecznym to sobie juz sam zbadaj) Podnoszac drugie rownanie do kwadratu dostaniemy 4*xy=8 x*y=2 Wobec tego nasz nowy uklad jest taki {x+y=3 x*y=2 Zobacz ze beda to liczby x=1 i y=2 lub odwrotnie x=2 i y=1 bo 1+2=3 i 1*2=2 Wiec nasze √3+√8= √1+√2=1+√2 = tez √2+1 masz nastepny przyklad : √7+2√10 rozkladamy tak samo √7+2√10=√x+√y /² 7+2√10=x+y+2√x*y Warunkiem wystarczajacym na istnienie tej rownosci jest uklad {x+y=7 {2p{x*y)=2√10 podnosimy drugie rownanioe do kwadratu i dostaniemy 4x*y=4*10 4xy=40 to x*y=10 Dostalismy nowy uklad latwy do rozwiazania {x+y=7 {x*y=10 zobacz ze beda to liczby x=2 i y=5 lub odwrotnie bo w pierwiastku zlozonym mamsz dodawanie a dodawanie jest przeniemmme Wobec tego zapiszemy ze √7+2√10=√2+√5 Jeszce inny przyklad abys dobrze to zrozumial taki : √7−4√3 Tutaj mamy w pierwiastku zlozonym roznice wiec zapiszsemy to tak √7−4√3=√x − √y i w zwiazku z tym ze jest roznica musi byc x>=y Podnosimy do kwadratu i dostaniemy 7−4√3= x+y−2√xy Znowu rownosc ta jest warunkiem wystarczajacym na istnienie ukladu {x+y=7 {2√xy=4√3 podnosimy drugie rownanie ukladu do kwadratu zeby wyliczyc x*y i dostaniemy 4xy=48 to xy=12 mamy nowy uklad {x+y=7 {x*y=12 widzimy ze uklad ten spelniaja takie liczby x=3 i y=4 lub x=4 i y=3 Mysmy zalozyli ze x>=y wiec nasz uklad spenia para liczb x=4 i y=3 Wobec tego mozemy zapisac ze p{7−4√3= √4−√3=2−√3 Teraz juz bedziesz wiedzial jak takie pierwiastki zlozone rozkladac na pierwiastki proste Z casem jak bedziesz rozwiazywac duzo takich przykladow to nabierzesz wprawy [C[ Warunkiem koniecznym aby pierwiastki zlozone typu √A+/−√B rozlozyc na pierwiastki proste jest jest to aby roznica A²−B byla pelnym kwadratem ]]

5-latek: A ogolny wzor jest taki

	A+√A2−B		A−√A2−B
√A+√B= √		+ √
	2		2

Jesli po prawej stronie bedzie amiast (=) znak (−) to po lewej bedzie tez znak (−) Szesciennych nie umiem

5-latek: A tak poza tym Marku to w nocy sie spi no chyba ze pijesz

Marek: Po paru imprezach przestawił mi się zegar biologiczny Dzięki 5−latku Nie znałem tego wzoru. W sumie wczoraj zastanawiałem się nad rozkładem dowolnego pierwiastka złożonego. np. √1+√5 Oczywiście nie da się tego rozłożyć na pierwiastki proste, bo A²−B<0 Ale rozłożyć na COŚ da się na pewno Podstawiając pod wzór √1+√5 mamy niezłą sieczkę

Marek: PW nie chodzi o zapamiętywanie wzoru, tylko o sam proces jego tworzenia Taka łamigłówka do rozwiązania. Przede wszystkim niepotrzebnie założyłem, że mamy 3 zmienne x,y,z a nie tylko dwie A i B

5-latek: Marku ten wzor z 09:07 wynika z rownan na pierwiastki rownania kwadratowego . Mysle ze lepiej jest rozwiazywac metoda z 08:56. BO zazwyczaj te pierwstki zlozone tak sa dobrane ze idzie je rozlozyc . Masz to pieknie opisane w ksiazce Bronislawa Bieleckiego ALgebra elementarna lub Marek Feldblum −Algebra elementarna z 1916r − nie pomylilem sie co do roku

Eta: (a+b)²=a²+2ab+b² √7+2√10 to 2ab=2√10 ⇒ ab=√10 = √2*√5 i a²+b²=7 ok √7+2√10= √(√2+√5)²= |√2+√5|=√2+√5

Gustlik: Są na to wzory:

	√a+x		√a−x
√a±b√c=		±
	√2		√2

gdzie x=√a²−(b√c)²

Eta: Po co "wkuwać" wzory?

fx: Nikt nikogo nie zmusza do wkuwania wzorów. Matematyka jest dla wielu ludzi tylko narzędziem (np. gdy stosuje się ją w innych naukach) − gdybym musiał za każdym razem wyprowadzać sobie każdy wzór, który jest mi potrzebny to bym na chleb nie zarobił. Wzory warto zapisać i stosować, bo po to one są − aby przyśpieszyć pracę.