Wyznacz następujące granice: kamczatka: Wyznacz następujące granice:

	1		1		1		1
lim n −− > ∞ [n (		+		+		+ ... +		]
	n2 +1		n2+2		n2 +3		n2 + n)

MQ: Tw. o trzech ciągach

kamczatka: tak ale nie wiem czym to ograniczyć z góry np ?

kamczatka:

	1		1
z góry będzie		+		... ?
	n2+1		n2+2

MQ: Z dołu:

	1		1
n[		+...+		] n razy
	n2+n		n2+n

	n2
czyli w sumie :
	n2+n

Z góry:

	1		1
n[		+...+		] n razy
	n2+1		n2+1

	n2
czyli w sumie :
	n2+1

kamczatka: a jak to teraz policzyć z sumy ciągu ?

kamczatka:

	n2
czemu		? skąd
	n2+1

MQ: Jakiej sumy? Z tw. o trzech ciągach przecież.

kamczatka:

	1		1
ograniczę z góry n[		+...+
	n2+1		n2+1

	1		1
z dołu n[		+...+		]
	n2+n		n2+n

i co dalej ?

jakubs: tw. o 3 ciągach

n2		n2
	≤....≤
n2+n		n2+1

Dalej chyba dokończysz

kamczatka: ale skąd te n² w liczniku ?

jakubs:

	n
n*(		)=...
	n2+1

	n
n*(		)=...
	n2+n

kamczatka:

	1
n[U{1}{n2+1+...+		]
	n2+1

	n
skąd n w liczniku tutaj masz n*(		)
	n2+1

kamczatka:

	1		1
n[		+...+		]
	n2+1		n2+1

jakubs: W nawiasie masz wspólne mianowniki i tego jest n razy, więc jaki będzie licznik ?

hmm: ogranicz kazdy skladnik z osoba przez 1/n² ..bo od tego jest mnieszy wyrazów mamy n..wiec całą suma jest mniesza od n* 1/n² = 1/n ..to z kolei dązy do 0.. oczywiscie suma jest wieksza od 0..wiec ciag jest między 0..a czyms co dązy do 0..wiec on tez dązy do zera..:

hmm: aaaa tam jeszcze to n jest..nie zauwazylem,, no to inaczje

hmm: ..no to do 1.. bo z dołu mozna ogrnaiczyc przez n* n*/(n² +n) =n²/ n² +n dązy do 1.. a z góy przez n*n/(n²+1) =n²/(n²+1).. a to tez dązdy do 1

hmm: ograniczenie z góry bierze sie stąd, że jak np mamy 1+2+ 3+4 to mamy n−wyrazów jak zamaist dodawac takie lcizby będziemy dodwac tą najwieksza (tyle samo razy) czyli 4+4+4+4..to dostajemy wiecej..(oczywiste).. w twoim ciagu najwiekszym "elementem" jest 1/n² +1.. bo ma najmniej w mianowniku..a skoro dodjaemy n−razy ..to mamy n* 1/n²+1.. jeszcze jest to n ,ktre tam jest w tym ciagu..i mamy n*n/n²+1.. analogicnzie dla ograniczenia od dołu..