granica jakubs: Oblicz granice:

	8−x
limx→8
	sin18πx

wskazówka: sinx=sin(π−x) Jak go zastosować ?

Godzio:

	1		1		1
sin		πx = sin(π −		πx) = sin(		π(8 − x))
	8		8		8

1   π(8 − x) 8		8
	*		→ ...
1   sin( π(8 − x))   8		π

jakubs: Dzięki, zapisałem sobie sin(π−¹₈πx), ale nie rozkminiłem, żeby coś wyciągnąć przed nawias....

jakubs:

	|tg(x−1)|
limx→1
	(x−1)2

zombi: Liczymy lim_x→1⁻ i lim_x→1⁺, z tym, ze pamiętamy o tym, że przy x←1⁻, |tg(x−1)| = −tg(x−1)

jakubs: Ta wartość bezwzględna ..

	tg(x−1)
limx→1+
	(x−1)(x−1)

	1
limx→1+ 1*		=∞
	0+

	tg(x−1)
limx→1−
	(x−1)(x−1)

	1
limx→1− −1*		=∞
	0−

Dobrze ?

jakubs: Nie widziałem Twojego wpisu zombi. Czyli wygląda na to, że raczej dobrze to zrobiłem.

zombi:

pigor: ... =

	0		|tg(x−1|		|tg(x−1|		1
= [		]= limx→1		= limx→1		*		=
	0		|x−1|2		|x−1|		|x−1|

	1
= |1|*		= 1*(+∞)= +∞ .
	|0|

jakubs: Dzięki, uciekam spać. Dobranoc

jakubs: pigor o tym nie pomyślałem, ale rozwiązanie prościutkie i szybkie

Damian: Jakubs z jakiego zbioru te zadania ?

jakubs: Krysicki, Włodarski Analiza matematyczna w zadaniach część I.

Damian: Dzieki Wczoraj kupilem, musze jeszcze cos do algebry kupic. Polecasz cos ?

jakubs: Nie posiadam nic do algebry w wersji papierowej. Mam Skoczylas, Jurlewicz Algebra liniowa I. Jeszcze nic z niej nie ogarniałem, więc się nie wypowiem, ale podobno jest OK i mam ją w syllabusie, więc myślę, że mi się przyda

jakubs: lim_x→0 px{1+sinx} Pierwiastek stopnia x, z (1+sinx) Nie wiem jak to ruszyć

Godzio:

	1
x√1 + sinx = (1 + sinx)1/x = exp { ln(1 + sinx)1/x } = exp {		* ln(1 + sinx) }
	x

lim_x→0 ^x√1 + sinx = [ ciągłość funkcji exp(x) ]

	1		0
exp { limx→0[		* ln(1 + sinx) ] } = exp { [		] } = H =
	x		0

	cosx   1 + sinx		1
exp { limx→0		} = exp {		} = e
	1		1 + 0

Stąd granica nie istnieje

pigor: ..., np. tak : ...= lim_x→0(1+sinx)^1_x= [1^∞]= lim_x→0(1+sinx)^{1_sinx* sinx_x}= = e^{lim_x→0sinx_x}= e¹= e. ...

jakubs: Dziękuje wam serdecznie, ciągłości funkcji jeszcze nie brałem, bo zostało mi jeszcze kilka zadań i dopiero będę się tego uczył.

zombi:

	1
(1+sinx) = (1+		)
	1   sinx

czyli

	1		1
(1+sinx)1/x = (1+		)1/x = ((1+		)1/sinx)sinx/x → e1 =
	1   sinx		1   sinx

e

zombi: Nie widziałem wcześniejszych postów, sorka

jakubs: Dzięki zombi za poświęcony czas Skończyłem na 5.53 z Krysickiego i dalej są zadanka z ciągłością funkcji. Jak się wyrobię to jutro pewnie was znowu pomęczę zadankami. Dobranoc

jakubs: Oblicz granicę prawo i lewostronną:

x		b
	[		] w punkcie x=0 []<− część całkowita
a		x

Godzio: x − 1 < [x] ≤ x

x		b		x		b
	* (		− 1) < ... ≤		*
a		x		a		x

	b
L →		← P
	a

	b
więc granica jest równa		, a co za tym idzie granice jednostronne również
	a

jakubs: Dziękuję, mam podobne

b		x
	[		] również w punkcie x=0
x		a

b		x		b	x
	([		−1)<....<
x		a		x	a

b		b		b
	−		<....<
a		x		a

Godzio: A coś jest powiedziane o a i b?

jakubs: Nic, czyli chyba przypadki trzeba rozważać.

jakubs: Lewostronne: jeżeli a>0 i b>0 to granica będzie +∞ , jeżeli a<0 to będzie 0 ?, jeżeli b=0 to granica 0, coś jeszcze ?

Godzio: x → 0⁺ czyli x > 0

	x
[		] = 0 gdy a > 0 oraz −1 gdy a < 0
	a

podobnie dla x < 0

Godzio: Lewostronnie chyba wyczerpałeś wszystko

jakubs: Jeszcze wymyśliłem jedno, że jak a>0 i b<0 to granica −∞ Prawostronne: jeżeli b=0 to granica 0, jeżeli a>0, to granica 0, jeżeli a<0 i b<0 to granica +∞, jeżeli a>0 i b>0 to granica +∞ Chyba tyle Głupie to zadanie

jakubs: Również obliczyć granice prawostronną i lewostronną:

e1/x−1
	w punkcie x=0
e1/x+1

	0−1
limx→0−		=−1
	1

	∞−1
limx→0+		co tu zrobić ?
	∞+1

Godzio: Podziel na e^1/x (licznik i mianownik)

jakubs:

	1   1−   e1/x
limx→0+		=1
	1   1+   e1/x

że na to nie wpadłem Dziękuję jeszcze raz, jesteś niesamowity

Godzio:

jakubs: Określ funkcję f(x) w punkcie x=0, tak aby była ona ciągła:

	π
f(x)=x*sin
	x

	π   sin   x		π
limx→0 x *		*
	π   x		x

	π
limx→0 x*1*		=π
	x

Wolfram granicę pokazuje 0, co robię źle ? http://www.wolframalpha.com/input/?i=lim+x*sin%28pi%2Fx%29+as+x-%3E0

b.: π/x nie ma granicy 0, gdy x dąży do 0

jakubs: To jak to rozwiązać ?

jakubs: Dobranoc

razor: tw. o trzech ciągach

	π
−1 ≤ sin		≤ 1
	x

	π
−x ≤ xsin		≤ x
	x

lim_x→0 −x = lim_x→0 x = 0

	π
limx→0xsin		= 0
	x

razor: funkcjach nie ciągach

jakubs: Już na mnie za późno i nie kapuje czemu tam z 1 podstawiłeś x .

b.: powyżej powinno być:

	π
−|x| ≤ xsin		≤ |x|
	x

(tak jak jest napisane powyżej jest poprawnie tylko dla x>0) albo inaczej (i dłużej), można rozważać granice lewo i prawostronną

razor: pomnożyłem nierówności przez x

jakubs: Nie zauważyłem, że w środku jest xsinx. Teraz wszystko jasne. Trochę drewno ze mnie, bo ciężko z myśleniem i zapominam o tym fajnym twierdzeniu Dziękuje wam bardzo, a teraz idę spać bo oczy mi się zamykają.