może ktoś mi pomoże jak takie zadania się rozwiązuje michał: wyznacz wszystkie wartości parametru α α ∊ ≤ 0 , π ≥ dla których sinα * x² − sin 2α * x + ¹₂ cosα = 0 ma dwa rozwiązania wynik to α ∊ ( ^π₂ , π )

Piotr 10: A masz jakiś pomysł ? Warunki trzeba ustalić.

Kacper: Z jakim równaniem mamy do czynienia?

Janek191: sin α ≠ 0 ⇒ α ∊ ( 0 ; π ) Δ = ( − sin 2α)² − 4*sin α * 0,5 cos α = sin² 2α − sin2α > 0 sin 2α *( sin 2α − 1) > 0 ⇒ sin 2α < 0 π < 2α < 2π / : 2 ^π₂ < α < π α ∊ ( ^π₂ ; π ) ===============

michał: ale co z drugim nawiasem tzn ( sin2α − 1 ) dziękuję ale podobne zadanie to wyznacz wszystkie wartości parametru α , α ∊ ≤ 0,π ≥ dla ktorych rozwiązania cosα * x² −2sinα *x + cosα są dodatnie ja rozwiązałem to tak cosα ≠ 0 ⇒ α ∊ ( 0, π), 0 < Δ = 4 sin²α − 4 cos²α = 4 sin²α −4 + 4 sin²α=5 sin²α − 4 dalej to nie wiem sugerowałem się przykładem powyższym wynik ma być α ∊ ( ^π₄, ^π₂ )

michał: ale może to jest poprawne cosα ≠ ^π₂ 0 < Δ = 4 sin²α − 4 cos²α = 4 − 4 cos²α − 4 cos²α = 4 − 8 cos ²α cos²α = ⁴₈ ⇒ cos α = ^√2₂ ⇒ x = ^π₄ + 2kπ czyli α ∊ ( ^π₄,^π₂) może ktoś sprawdzi czy to jest poprawne

michał: jeszcze jedno mam zadanie z którym mam problem sin⁴x − cos⁴x = 6m − cos²2x ma co najmniej jedno rozwiązanie wynik to m ∊ ≤ − ¹₂₄ , ¹₃ ≥

Mila: sin⁴x − cos⁴x = 6m − cos²(2x) ma co najmniej jedno rozwiązanie. Przekształcamy: (sin²x−cos²x)*(sin²x+cos²x)+cos²(2x)=6m⇔ (−cos(2x))*1+cos²(2x)=6m⇔ cos²(2x)−cos(2x)=6m Ustalamy zbiór wartości funkcji f(x)=cos²(2x)−cos(2x) cos(2x)=t i −1≤t≤1 f(t)=t²−t

	1
tw=		∊<−1,1>
	2

	1		1
f(		)=−		wartość najmniejsza f(t)
	2		4

f(1)=1−1=0 f(−1)=1+1=2

	1
6m≥−		i 6m≤2⇔
	4

	1		2
m≥−		i m≤		⇔
	24		6

	1		1
m∊<−		,		>
	24		3

=================

Mila: 2) wyznacz wszystkie wartości parametru α , α ∊ ≤ 0,π ≥ dla ktorych rozwiązania cosα * x² −2sinα *x + cosα=0 są dodatnie Δ=4sin²α−4*cos²α=−4cos(2α) Δ≥0 aby istniały rozwiązania ⇔ −4cos(2α)≥0⇔cos(2α)≤0⇔

π		3π
	+2kπ≤2α≤		+2kπ /:2
2		2

π		3π
	+kπ≤α≤		+kπ
4		4

dla k=0

π		3π
	≤α≤
4		4

dla k=1 katy α nie należą do przedziału <0,π>

	π		3π
czyli α∊<		,		>
	4		4

Wzory Viete'a x₁+x₂>0 i x₁*x₂>0

	−b		2
⇔x1+x2=		⇔		>0
	a		cosα

	c
i x1*x2=		=1>0 dla każdego α
	a

2		π		3π
	>0 dla cosα>0⇔x∊<0,U}{π}{2}) i α∊<		,		>⇔
cosα		4		4

	π		π
α∊<		,		)
	4		2

michał: z jakiego wzoru powstał zapis Δ = 4sin²α − 4 cos²α = 4cos(2α)

PW: Zgubiłeś minusik: 4(sin²α − cos²α) = −4(cos²α − sin²α) = −4cos2α

Mila: Witaj PW

PW: Uszanowania , coś wieje nudą, chyba pora spać.

Mila: Matematyka dyskretna. Ile jest liczb stucyfrowych o sumie cyfr równej 4.

michał: już wiem z jakiego wzoru, przepraszam że jestem dociekliwy

michał: rzeczywiście zgubiłem minus dziękuję i dobranoc

Mila: Dobranoc, zawsze trzeba pytać, gdy są niejasności.

michał: jeszcze raz powracam do zadania 2. tam korzystając ze wzoru Viete"a zamiast x₁+ x₂ = ²_cosα powinno być x₁ + x₂ = ^2sinα_cosα czyli 0< 2tgα

Janek191: sin 2α − 1 < 0 ⇒ sin 2α < 1 ⇒ 2α ≠ ^π₂ ⇒ α ≠ ^π₄

michał: jeszcze jedno pytanie dla Janka 191 dlaczego jest zmiana znaku nierówności z większego na mniejszy

Janek191: Δ > 0 ⇔ sin 2α *( sin 2α − 1) > 0 ⇔ ⇔ [ sin 2α > 0 i sin 2α − 1 > 0 ] ⋁ [sin 2α < 0 i sin 2α − 1 < 0] sin 2α > 0 i sin 2α > 1 − sprzeczność, bo sin 2α ≤ 1 Pozostaje sin 2α < 0 i sin 2α < 1

	π
π < 2α < 2π i 2α ≠
	2

π		π
	< α < π i α ≠
2		4

π
	< α < π
2

============

michał: podziękowania dla Janka191

Mila: Zadanie (2) cosα * x² −2sinα *x + cosα=0 Rzeczywiście w (2) trzeba uzupełnić i poprawić błąd.

	π
1) cosα=0 dla α=
	2

wtedy mamy równanie : −2sinα*x=0 i x>0 (z zał.)

	π
−2sin		*x=0⇔
	2

x=0 nie są spełnione warunki

	π
2) cos α≠0, x≠
	2

	π
Δ=4sin2α−4cos2α=−4*(cos2α−sin2α)=−4cos(2α) i α∊<0,π>/{		}
	2

⇔

	π		π		π		3π
α∊<		,		)∪(		,		>
	4		2		2		4

3) Dobrze napisałeś x₁+x₂ =2tgα

	π
tgα>0 i α∊(0,		)
	2

x₁*x₂=1 niezależnie od wartości α odp.

	π		π
x∊<		,		)
	4		2

W zadaniu nie jest podane, że rozwiązania mają być różne, dlatego dałam Δ≥0 To jest ciągle problem budzący wątpliwości. Jeśli jest sformułowanie dwa różne rozwiązania dodatnie to warunek: Δ>0 i odpowiedź

	π		π
x∊(		,		)
	4		2

Chyba już nie ma pomyłek.

michał: dziękuję