trygonometria tyu: wyznacz zbiór wartości y=−sin²x+4sinx+12 tutaj http://www.matematyka.pl/29328.htm znalazłem częściowe rozwiązanie (post "baksio" z 19 luty 2007) y=−(sin²x−4sinx−12) y=−[(sinx−2)² − 16] ale nie wiem skąd się bierze to równanie −1≤(sinx−2)² ≤ 9

Godzio: − 1 ≤ sinx ≤ 1 / −2 − 3 ≤ sinx − 2 ≤ −1 /² (zmieniamy znaki nierówności 9 ≥ (sinx − 2)² ≥ 1

Kacper: to oczywiście jest bzdura można tak: −sin²x+4sinx+12=−(sin²x−4sinx−12)=−[(sinx−2)²−16] I teraz: −1≤sinx≤1 −3≤sinx−2≤3 1≤(sinx−2)²≤9 (tutaj jest największa trudność) 1−16≤(sinx−2)²−16≤9−16 15≥−[(sinx−2)²−16]≥7 Zw=<7,15>

J: Albo ... dla sinx = 1: (sinx −2)² = 1 ( minimum ), dla sinx = −1: (sinx −2)² = 9... czyli : 1 ≤ (sinx − 2)² ≤ 9

Kacper: oczywiście mam mały błąd 1−2=−1 Godzio tutaj akurat to działa (podnoszenie do kwadratu), ale nie zawsze

Godzio: Czemu nie zawsze? Jeżeli jest między dwoma ujemnymi to zawsze działa a ≤ b ≤ c < 0 to a² ≥ b² ≥ c² > 0 Oczywiście dla innych kombinacji nie musi działać (− − +), ale w tych przypadkach działa

Kacper: Sam przyznałeś, "jeśli jest między dwoma ujemnymi"

Godzio: Niech Ci będzie

tyu: czyli jak już mam 9 ≥ (sinx − 2)² ≥ 1 to obustronnie odejmuję 16 bo chcę uzyskać wyrażenie "−[(sinx − 2)² − 16]" 9 − 16 ≥ (sinx − 2)² − 16 ≥ 1 −16 −7 ≥ (sinx − 2)² − 16 ≥ −15 mnożę przez (−1), bo chcę mieć między znakami nierówności to co było na początku czyli −(sinx − 2)² + 16 = −[(sinx − 2)² − 16] 7≤ −[(sinx − 2)² − 16] ≤ 15 ZW=<7;15> czy tak np. powinno wyglądać rozwiązanie

Godzio: Tak.

tyu: dziękuję za pomoc

Kacper: można też zrobić podstawienie sinx=t i bawić się parabolą

tyu: a gdyby rozwiązać to przez podstawienie, to wtedy trzeba szukać wartości największej i najmniejszej tej paraboli w przedziale <−1;1> To wydaje mi się szybsze rozwiązanie

Kacper: tak

tyu: czyli sinx=t y=−t²+4t+12 i t∊<−1;1> f(−1) = −(−1)²+4(−1)+12=−1−4+12=7 f(1) = −1²+4+12=−1+4+12=15 ZW=<7;15> chyba dobrze

razor: wynik dobry ale metoda niepoprawna trzeba jeszcze obliczyć współrzędne wierzchołka paraboli i sprawdzić czy mieści się w danym przedziale

tyu:

tyu:

	−b		−4
xw=		=		= 2
	2a		−2

	−Δ		−52
q=		Δ= 4−4*(−1)*12=52 q=		= 13
	4a		−4

razor: czy jeśli x_w = 2 to musieliśmy wyliczać y_w?

tyu: nie.

tyu: właśnie otworzyłem podręcznik na tym zagadnieniu i jest tam napisane sprawdzić, czy x_w należy do <m;n> W tym przypadku m=−1, n=1 Jeśli nie należy, to obliczyć wartość największą i najmniejszą w danym przedziale spośród liczb f(m) i f(n) Czyli nie trzeba było wyliczać y_w

razor: Trzeba wyliczać jeśli x_w należy do przedziału

tyu: czyli te sprawdzenie współrzędnej x wierzchołka potwierdziło, że wierzchołek nie należy nawet do przedziału, więc nie trzeba liczyć jego współrzędnej y.

tyu: dziękuję.